Theorem crui 7987

Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130.

Hypotheses

Ref	Expression
cru.1	|- A e. RR
cru.2	|- B e. RR
cru.3	|- C e. RR
cru.4	|- D e. RR

Assertion

Ref	Expression
crui	|- ((A + (_i x. B)) = (C + (_i x. D)) <-> (A = C /\ B = D))

Proof of Theorem crui

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cru.1	. . . . 5 |- A e. RR
2		cru.2	. . . . 5 |- B e. RR
3		cru.3	. . . . 5 |- C e. RR
4		cru.4	. . . . 5 |- D e. RR
5	1, 2, 3, 4	crulem 7986	. . . 4 |- ((A + (_i x. B)) = (C + (_i x. D)) -> B = D)
6		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (B = D -> (_i x. B) = (_i x. D))
7	6	opreq2d 4898	. . . . . 6 |- (B = D -> (C + (_i x. B)) = (C + (_i x. D)))
8	7	eqeq2d 1895	. . . . 5 |- (B = D -> ((A + (_i x. B)) = (C + (_i x. B)) <-> (A + (_i x. B)) = (C + (_i x. D))))
9	1	recni 6467	. . . . . . . 8 |- A e. CC
10		axicn 6423	. . . . . . . . 9 |- _i e. CC
11	2	recni 6467	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
12	10, 11	mulcli 6474	. . . . . . . 8 |- (_i x. B) e. CC
13	9, 12	addcomi 6475	. . . . . . 7 |- (A + (_i x. B)) = ((_i x. B) + A)
14	3	recni 6467	. . . . . . . 8 |- C e. CC
15	14, 12	addcomi 6475	. . . . . . 7 |- (C + (_i x. B)) = ((_i x. B) + C)
16	13, 15	eqeq12i 1897	. . . . . 6 |- ((A + (_i x. B)) = (C + (_i x. B)) <-> ((_i x. B) + A) = ((_i x. B) + C))
17	12, 9, 14	addcani 6505	. . . . . . 7 |- (((_i x. B) + A) = ((_i x. B) + C) <-> A = C)
18	17	biimpi 168	. . . . . 6 |- (((_i x. B) + A) = ((_i x. B) + C) -> A = C)
19	16, 18	sylbi 216	. . . . 5 |- ((A + (_i x. B)) = (C + (_i x. B)) -> A = C)
20	8, 19	syl6bir 232	. . . 4 |- (B = D -> ((A + (_i x. B)) = (C + (_i x. D)) -> A = C))
21	5, 20	mpcom 60	. . 3 |- ((A + (_i x. B)) = (C + (_i x. D)) -> A = C)
22	21, 5	jca 310	. 2 |- ((A + (_i x. B)) = (C + (_i x. D)) -> (A = C /\ B = D))
23		id 73	. . 3 |- (A = C -> A = C)
24	23, 6	opreqan12d 4902	. 2 |- ((A = C /\ B = D) -> (A + (_i x. B)) = (C + (_i x. D)))
25	22, 24	impbii 174	1 |- ((A + (_i x. B)) = (C + (_i x. D)) <-> (A = C /\ B = D))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  (class class class)co 4884  RRcr 6385  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391

This theorem is referenced by:  cru 7988  crne0i 7989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892

Copyright terms: Public domain