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Theorem crt 13853
Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps  x to its remainder classes  mod  M and  mod  N is 1-1 and onto when  M and  N are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crt.1  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
crt.2  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
crt.3  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
crt.4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
Assertion
Ref Expression
crt  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
Distinct variable groups:    x, M    ph, x    x, S    x, T    x, N
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem crt
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 11553 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
2 crt.1 . . . . . 6  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
31, 2eleq2s 2535 . . . . 5  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  ZZ )
4 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
5 crt.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
65simp1d 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  M  e.  NN )
8 zmodfzo 11730 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( x  mod  M
)  e.  ( 0..^ M ) )
94, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  mod  M )  e.  ( 0..^ M ) )
105simp2d 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
12 zmodfzo 11730 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
134, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
14 opelxpi 4871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
x  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )  ->  <. ( x  mod  M ) ,  ( x  mod  N
) >.  e.  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
159, 13, 14syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  e.  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
16 crt.2 . . . . . 6  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
1715, 16syl6eleqr 2534 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  e.  T
)
183, 17sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  e.  T
)
19 crt.3 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
2018, 19fmptd 5867 . . 3  |-  ( ph  ->  F : S --> T )
21 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  mod  M )  =  ( y  mod 
M ) )
22 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  mod  N )  =  ( y  mod 
N ) )
2321, 22opeq12d 4067 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( y  mod  M ) ,  ( y  mod 
N ) >. )
24 opex 4556 . . . . . . . . 9  |-  <. (
y  mod  M ) ,  ( y  mod 
N ) >.  e.  _V
2523, 19, 24fvmpt 5774 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  S  ->  ( F `  y )  =  <. ( y  mod 
M ) ,  ( y  mod  N )
>. )
2625ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F `  y
)  =  <. (
y  mod  M ) ,  ( y  mod 
N ) >. )
27 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  mod  M )  =  ( z  mod 
M ) )
28 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  mod  N )  =  ( z  mod 
N ) )
2927, 28opeq12d 4067 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( z  mod  M ) ,  ( z  mod 
N ) >. )
30 opex 4556 . . . . . . . . 9  |-  <. (
z  mod  M ) ,  ( z  mod 
N ) >.  e.  _V
3129, 19, 30fvmpt 5774 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  S  ->  ( F `  z )  =  <. ( z  mod 
M ) ,  ( z  mod  N )
>. )
3231ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F `  z
)  =  <. (
z  mod  M ) ,  ( z  mod 
N ) >. )
3326, 32eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <->  <. ( y  mod  M
) ,  ( y  mod  N ) >.  =  <. ( z  mod 
M ) ,  ( z  mod  N )
>. ) )
34 ovex 6116 . . . . . . 7  |-  ( y  mod  M )  e. 
_V
35 ovex 6116 . . . . . . 7  |-  ( y  mod  N )  e. 
_V
3634, 35opth 4566 . . . . . 6  |-  ( <.
( y  mod  M
) ,  ( y  mod  N ) >.  =  <. ( z  mod 
M ) ,  ( z  mod  N )
>. 
<->  ( ( y  mod 
M )  =  ( z  mod  M )  /\  ( y  mod 
N )  =  ( z  mod  N ) ) )
3733, 36syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <-> 
( ( y  mod 
M )  =  ( z  mod  M )  /\  ( y  mod 
N )  =  ( z  mod  N ) ) ) )
386adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  M  e.  NN )
3938nnzd 10746 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  M  e.  ZZ )
4010adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  N  e.  NN )
4140nnzd 10746 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  N  e.  ZZ )
42 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
4342, 2syl6eleq 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )
44 elfzoelz 11553 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  y  e.  ZZ )
4543, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  ZZ )
46 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
4746, 2syl6eleq 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )
48 elfzoelz 11553 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  z  e.  ZZ )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  ZZ )
5045, 49zsubcld 10752 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  -  z
)  e.  ZZ )
515simp3d 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( M  gcd  N
)  =  1 )
53 coprmdvds2 13789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( y  -  z
)  e.  ZZ )  /\  ( M  gcd  N )  =  1 )  ->  ( ( M 
||  ( y  -  z )  /\  N  ||  ( y  -  z
) )  ->  ( M  x.  N )  ||  ( y  -  z
) ) )
5439, 41, 50, 52, 53syl31anc 1221 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( M  ||  ( y  -  z
)  /\  N  ||  (
y  -  z ) )  ->  ( M  x.  N )  ||  (
y  -  z ) ) )
55 moddvds 13542 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( y  mod  M
)  =  ( z  mod  M )  <->  M  ||  (
y  -  z ) ) )
5638, 45, 49, 55syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod 
M )  =  ( z  mod  M )  <-> 
M  ||  ( y  -  z ) ) )
57 moddvds 13542 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( y  mod  N
)  =  ( z  mod  N )  <->  N  ||  (
y  -  z ) ) )
5840, 45, 49, 57syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod 
N )  =  ( z  mod  N )  <-> 
N  ||  ( y  -  z ) ) )
5956, 58anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( y  mod  M )  =  ( z  mod  M
)  /\  ( y  mod  N )  =  ( z  mod  N ) )  <->  ( M  ||  ( y  -  z
)  /\  N  ||  (
y  -  z ) ) ) )
6045zred 10747 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  RR )
6138, 40nnmulcld 10369 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( M  x.  N
)  e.  NN )
6261nnrpd 11026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( M  x.  N
)  e.  RR+ )
63 elfzole1 11560 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  0  <_  y )
6443, 63syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
0  <_  y )
65 elfzolt2 11561 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  y  <  ( M  x.  N ) )
6643, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  <  ( M  x.  N ) )
67 modid 11732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  ( M  x.  N
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  y  /\  y  <  ( M  x.  N ) ) )  ->  ( y  mod  ( M  x.  N
) )  =  y )
6860, 62, 64, 66, 67syl22anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  mod  ( M  x.  N )
)  =  y )
6949zred 10747 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  RR )
70 elfzole1 11560 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  0  <_  z )
7147, 70syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
0  <_  z )
72 elfzolt2 11561 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  z  <  ( M  x.  N ) )
7347, 72syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  <  ( M  x.  N ) )
74 modid 11732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( M  x.  N
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  z  /\  z  <  ( M  x.  N ) ) )  ->  ( z  mod  ( M  x.  N
) )  =  z )
7569, 62, 71, 73, 74syl22anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z  mod  ( M  x.  N )
)  =  z )
7668, 75eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod  ( M  x.  N
) )  =  ( z  mod  ( M  x.  N ) )  <-> 
y  =  z ) )
77 moddvds 13542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  x.  N
)  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( y  mod  ( M  x.  N )
)  =  ( z  mod  ( M  x.  N ) )  <->  ( M  x.  N )  ||  (
y  -  z ) ) )
7861, 45, 49, 77syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod  ( M  x.  N
) )  =  ( z  mod  ( M  x.  N ) )  <-> 
( M  x.  N
)  ||  ( y  -  z ) ) )
7976, 78bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( M  x.  N
)  ||  ( y  -  z ) ) )
8054, 59, 793imtr4d 268 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( y  mod  M )  =  ( z  mod  M
)  /\  ( y  mod  N )  =  ( z  mod  N ) )  ->  y  =  z ) )
8137, 80sylbid 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
8281ralrimivva 2808 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
83 dff13 5971 . . 3  |-  ( F : S -1-1-> T  <->  ( F : S --> T  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8420, 82, 83sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-> T
)
85 nnnn0 10586 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
86 nnnn0 10586 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
87 nn0mulcl 10616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  x.  N
)  e.  NN0 )
88 hashfzo0 12191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )  =  ( M  x.  N
) )
90 fzofi 11796 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
91 fzofi 11796 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
92 hashxp 12196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  (
0..^ N )  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )  =  ( (
# `  ( 0..^ M ) )  x.  ( # `  (
0..^ N ) ) ) )
9390, 91, 92mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( # `  ( 0..^ M ) )  x.  ( # `  ( 0..^ N ) ) )
94 hashfzo0 12191 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ M ) )  =  M )
95 hashfzo0 12191 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ N ) )  =  N )
9694, 95oveqan12d 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  (
0..^ N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
9793, 96syl5eq 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
9889, 97eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )  =  ( # `  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) ) )
99 fzofi 11796 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  e.  Fin
100 xpfi 7583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  (
0..^ N )  e. 
Fin )  ->  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
10190, 91, 100mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  e.  Fin
102 hashen 12118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0..^ ( M  x.  N ) )  e.  Fin  /\  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )  =  ( # `  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) ) )
10399, 101, 102mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )  =  ( # `  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  ~~  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
10498, 103sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )
10585, 86, 104syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )
1066, 10, 105syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )
107106, 2, 163brtr4g 4324 . . 3  |-  ( ph  ->  S  ~~  T )
10816, 101eqeltri 2513 . . 3  |-  T  e. 
Fin
109 f1finf1o 7539 . . 3  |-  ( ( S  ~~  T  /\  T  e.  Fin )  ->  ( F : S -1-1-> T  <-> 
F : S -1-1-onto-> T ) )
110107, 108, 109sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( F : S -1-1-> T  <-> 
F : S -1-1-onto-> T ) )
11184, 110mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   <.cop 3883   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ~~ cen 7307   Fincfn 7310   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   NNcn 10322   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   RR+crp 10991  ..^cfzo 11548    mod cmo 11708   #chash 12103    || cdivides 13535    gcd cgcd 13690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-dvds 13536  df-gcd 13691
This theorem is referenced by:  phimullem  13854
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