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Theorem crt 14392
Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps  x to its remainder classes  mod  M and  mod  N is 1-1 and onto when  M and  N are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crt.1  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
crt.2  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
crt.3  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
crt.4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
Assertion
Ref Expression
crt  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
Distinct variable groups:    x, M    ph, x    x, S    x, T    x, N
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem crt
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 11804 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
2 crt.1 . . . . . 6  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
31, 2eleq2s 2562 . . . . 5  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  ZZ )
4 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
5 crt.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
65simp1d 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
76adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  M  e.  NN )
8 zmodfzo 12000 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( x  mod  M
)  e.  ( 0..^ M ) )
94, 7, 8syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  mod  M )  e.  ( 0..^ M ) )
105simp2d 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1110adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
12 zmodfzo 12000 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
134, 11, 12syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
14 opelxpi 5020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
x  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )  ->  <. ( x  mod  M ) ,  ( x  mod  N
) >.  e.  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
159, 13, 14syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  e.  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
16 crt.2 . . . . . 6  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
1715, 16syl6eleqr 2553 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  e.  T
)
183, 17sylan2 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  e.  T
)
19 crt.3 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
2018, 19fmptd 6031 . . 3  |-  ( ph  ->  F : S --> T )
21 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  mod  M )  =  ( y  mod 
M ) )
22 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  mod  N )  =  ( y  mod 
N ) )
2321, 22opeq12d 4211 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( y  mod  M ) ,  ( y  mod 
N ) >. )
24 opex 4701 . . . . . . . . 9  |-  <. (
y  mod  M ) ,  ( y  mod 
N ) >.  e.  _V
2523, 19, 24fvmpt 5931 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  S  ->  ( F `  y )  =  <. ( y  mod 
M ) ,  ( y  mod  N )
>. )
2625ad2antrl 725 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F `  y
)  =  <. (
y  mod  M ) ,  ( y  mod 
N ) >. )
27 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  mod  M )  =  ( z  mod 
M ) )
28 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  mod  N )  =  ( z  mod 
N ) )
2927, 28opeq12d 4211 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( z  mod  M ) ,  ( z  mod 
N ) >. )
30 opex 4701 . . . . . . . . 9  |-  <. (
z  mod  M ) ,  ( z  mod 
N ) >.  e.  _V
3129, 19, 30fvmpt 5931 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  S  ->  ( F `  z )  =  <. ( z  mod 
M ) ,  ( z  mod  N )
>. )
3231ad2antll 726 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F `  z
)  =  <. (
z  mod  M ) ,  ( z  mod 
N ) >. )
3326, 32eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <->  <. ( y  mod  M
) ,  ( y  mod  N ) >.  =  <. ( z  mod 
M ) ,  ( z  mod  N )
>. ) )
34 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( y  mod  M )  e. 
_V
35 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( y  mod  N )  e. 
_V
3634, 35opth 4711 . . . . . 6  |-  ( <.
( y  mod  M
) ,  ( y  mod  N ) >.  =  <. ( z  mod 
M ) ,  ( z  mod  N )
>. 
<->  ( ( y  mod 
M )  =  ( z  mod  M )  /\  ( y  mod 
N )  =  ( z  mod  N ) ) )
3733, 36syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <-> 
( ( y  mod 
M )  =  ( z  mod  M )  /\  ( y  mod 
N )  =  ( z  mod  N ) ) ) )
386adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  M  e.  NN )
3938nnzd 10964 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  M  e.  ZZ )
4010adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  N  e.  NN )
4140nnzd 10964 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  N  e.  ZZ )
42 simprl 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
4342, 2syl6eleq 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )
44 elfzoelz 11804 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  y  e.  ZZ )
4543, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  ZZ )
46 simprr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
4746, 2syl6eleq 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )
48 elfzoelz 11804 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  z  e.  ZZ )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  ZZ )
5045, 49zsubcld 10970 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  -  z
)  e.  ZZ )
515simp3d 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
5251adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( M  gcd  N
)  =  1 )
53 coprmdvds2 14328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( y  -  z
)  e.  ZZ )  /\  ( M  gcd  N )  =  1 )  ->  ( ( M 
||  ( y  -  z )  /\  N  ||  ( y  -  z
) )  ->  ( M  x.  N )  ||  ( y  -  z
) ) )
5439, 41, 50, 52, 53syl31anc 1229 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( M  ||  ( y  -  z
)  /\  N  ||  (
y  -  z ) )  ->  ( M  x.  N )  ||  (
y  -  z ) ) )
55 moddvds 14077 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( y  mod  M
)  =  ( z  mod  M )  <->  M  ||  (
y  -  z ) ) )
5638, 45, 49, 55syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod 
M )  =  ( z  mod  M )  <-> 
M  ||  ( y  -  z ) ) )
57 moddvds 14077 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( y  mod  N
)  =  ( z  mod  N )  <->  N  ||  (
y  -  z ) ) )
5840, 45, 49, 57syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod 
N )  =  ( z  mod  N )  <-> 
N  ||  ( y  -  z ) ) )
5956, 58anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( y  mod  M )  =  ( z  mod  M
)  /\  ( y  mod  N )  =  ( z  mod  N ) )  <->  ( M  ||  ( y  -  z
)  /\  N  ||  (
y  -  z ) ) ) )
6045zred 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  RR )
6138, 40nnmulcld 10579 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( M  x.  N
)  e.  NN )
6261nnrpd 11257 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( M  x.  N
)  e.  RR+ )
63 elfzole1 11812 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  0  <_  y )
6443, 63syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
0  <_  y )
65 elfzolt2 11813 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  y  <  ( M  x.  N ) )
6643, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  <  ( M  x.  N ) )
67 modid 12002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  ( M  x.  N
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  y  /\  y  <  ( M  x.  N ) ) )  ->  ( y  mod  ( M  x.  N
) )  =  y )
6860, 62, 64, 66, 67syl22anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  mod  ( M  x.  N )
)  =  y )
6949zred 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  RR )
70 elfzole1 11812 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  0  <_  z )
7147, 70syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
0  <_  z )
72 elfzolt2 11813 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  z  <  ( M  x.  N ) )
7347, 72syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  <  ( M  x.  N ) )
74 modid 12002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( M  x.  N
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  z  /\  z  <  ( M  x.  N ) ) )  ->  ( z  mod  ( M  x.  N
) )  =  z )
7569, 62, 71, 73, 74syl22anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z  mod  ( M  x.  N )
)  =  z )
7668, 75eqeq12d 2476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod  ( M  x.  N
) )  =  ( z  mod  ( M  x.  N ) )  <-> 
y  =  z ) )
77 moddvds 14077 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  x.  N
)  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( y  mod  ( M  x.  N )
)  =  ( z  mod  ( M  x.  N ) )  <->  ( M  x.  N )  ||  (
y  -  z ) ) )
7861, 45, 49, 77syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod  ( M  x.  N
) )  =  ( z  mod  ( M  x.  N ) )  <-> 
( M  x.  N
)  ||  ( y  -  z ) ) )
7976, 78bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( M  x.  N
)  ||  ( y  -  z ) ) )
8054, 59, 793imtr4d 268 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( y  mod  M )  =  ( z  mod  M
)  /\  ( y  mod  N )  =  ( z  mod  N ) )  ->  y  =  z ) )
8137, 80sylbid 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
8281ralrimivva 2875 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
83 dff13 6141 . . 3  |-  ( F : S -1-1-> T  <->  ( F : S --> T  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8420, 82, 83sylanbrc 662 . 2  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-> T
)
85 nnnn0 10798 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
86 nnnn0 10798 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
87 nn0mulcl 10828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  x.  N
)  e.  NN0 )
88 hashfzo0 12472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )  =  ( M  x.  N
) )
90 fzofi 12066 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
91 fzofi 12066 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
92 hashxp 12476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  (
0..^ N )  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )  =  ( (
# `  ( 0..^ M ) )  x.  ( # `  (
0..^ N ) ) ) )
9390, 91, 92mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( # `  ( 0..^ M ) )  x.  ( # `  ( 0..^ N ) ) )
94 hashfzo0 12472 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ M ) )  =  M )
95 hashfzo0 12472 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ N ) )  =  N )
9694, 95oveqan12d 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  (
0..^ N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
9793, 96syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
9889, 97eqtr4d 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )  =  ( # `  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) ) )
99 fzofi 12066 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  e.  Fin
100 xpfi 7783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  (
0..^ N )  e. 
Fin )  ->  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
10190, 91, 100mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  e.  Fin
102 hashen 12402 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0..^ ( M  x.  N ) )  e.  Fin  /\  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )  =  ( # `  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) ) )
10399, 101, 102mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )  =  ( # `  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  ~~  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
10498, 103sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )
10585, 86, 104syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )
1066, 10, 105syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )
107106, 2, 163brtr4g 4471 . . 3  |-  ( ph  ->  S  ~~  T )
10816, 101eqeltri 2538 . . 3  |-  T  e. 
Fin
109 f1finf1o 7739 . . 3  |-  ( ( S  ~~  T  /\  T  e.  Fin )  ->  ( F : S -1-1-> T  <-> 
F : S -1-1-onto-> T ) )
110107, 108, 109sylancl 660 . 2  |-  ( ph  ->  ( F : S -1-1-> T  <-> 
F : S -1-1-onto-> T ) )
11184, 110mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   <.cop 4022   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ~~ cen 7506   Fincfn 7509   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   RR+crp 11221  ..^cfzo 11799    mod cmo 11978   #chash 12387    || cdvds 14070    gcd cgcd 14228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-dvds 14071  df-gcd 14229
This theorem is referenced by:  phimullem  14393
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