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Theorem crt 14185
Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps  x to its remainder classes  mod  M and  mod  N is 1-1 and onto when  M and  N are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crt.1  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
crt.2  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
crt.3  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
crt.4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
Assertion
Ref Expression
crt  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
Distinct variable groups:    x, M    ph, x    x, S    x, T    x, N
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem crt
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 11808 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
2 crt.1 . . . . . 6  |-  S  =  ( 0..^ ( M  x.  N ) )
31, 2eleq2s 2551 . . . . 5  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  ZZ )
4 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
5 crt.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )
65simp1d 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  M  e.  NN )
8 zmodfzo 11997 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( x  mod  M
)  e.  ( 0..^ M ) )
94, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  mod  M )  e.  ( 0..^ M ) )
105simp2d 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
12 zmodfzo 11997 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
134, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
14 opelxpi 5021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  mod  M
)  e.  ( 0..^ M )  /\  (
x  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )  ->  <. ( x  mod  M ) ,  ( x  mod  N
) >.  e.  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
159, 13, 14syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  e.  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
16 crt.2 . . . . . 6  |-  T  =  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )
1715, 16syl6eleqr 2542 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ZZ )  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  e.  T
)
183, 17sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  e.  T
)
19 crt.3 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
<. ( x  mod  M
) ,  ( x  mod  N ) >.
)
2018, 19fmptd 6040 . . 3  |-  ( ph  ->  F : S --> T )
21 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  mod  M )  =  ( y  mod 
M ) )
22 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  mod  N )  =  ( y  mod 
N ) )
2321, 22opeq12d 4210 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( y  mod  M ) ,  ( y  mod 
N ) >. )
24 opex 4701 . . . . . . . . 9  |-  <. (
y  mod  M ) ,  ( y  mod 
N ) >.  e.  _V
2523, 19, 24fvmpt 5941 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  S  ->  ( F `  y )  =  <. ( y  mod 
M ) ,  ( y  mod  N )
>. )
2625ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F `  y
)  =  <. (
y  mod  M ) ,  ( y  mod 
N ) >. )
27 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  mod  M )  =  ( z  mod 
M ) )
28 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  mod  N )  =  ( z  mod 
N ) )
2927, 28opeq12d 4210 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  <. (
x  mod  M ) ,  ( x  mod  N ) >.  =  <. ( z  mod  M ) ,  ( z  mod 
N ) >. )
30 opex 4701 . . . . . . . . 9  |-  <. (
z  mod  M ) ,  ( z  mod 
N ) >.  e.  _V
3129, 19, 30fvmpt 5941 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  S  ->  ( F `  z )  =  <. ( z  mod 
M ) ,  ( z  mod  N )
>. )
3231ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F `  z
)  =  <. (
z  mod  M ) ,  ( z  mod 
N ) >. )
3326, 32eqeq12d 2465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <->  <. ( y  mod  M
) ,  ( y  mod  N ) >.  =  <. ( z  mod 
M ) ,  ( z  mod  N )
>. ) )
34 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( y  mod  M )  e. 
_V
35 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( y  mod  N )  e. 
_V
3634, 35opth 4711 . . . . . 6  |-  ( <.
( y  mod  M
) ,  ( y  mod  N ) >.  =  <. ( z  mod 
M ) ,  ( z  mod  N )
>. 
<->  ( ( y  mod 
M )  =  ( z  mod  M )  /\  ( y  mod 
N )  =  ( z  mod  N ) ) )
3733, 36syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <-> 
( ( y  mod 
M )  =  ( z  mod  M )  /\  ( y  mod 
N )  =  ( z  mod  N ) ) ) )
386adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  M  e.  NN )
3938nnzd 10973 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  M  e.  ZZ )
4010adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  N  e.  NN )
4140nnzd 10973 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  N  e.  ZZ )
42 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
4342, 2syl6eleq 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )
44 elfzoelz 11808 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  y  e.  ZZ )
4543, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  ZZ )
46 simprr 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
4746, 2syl6eleq 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )
48 elfzoelz 11808 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  z  e.  ZZ )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  ZZ )
5045, 49zsubcld 10979 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  -  z
)  e.  ZZ )
515simp3d 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( M  gcd  N
)  =  1 )
53 coprmdvds2 14121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( y  -  z
)  e.  ZZ )  /\  ( M  gcd  N )  =  1 )  ->  ( ( M 
||  ( y  -  z )  /\  N  ||  ( y  -  z
) )  ->  ( M  x.  N )  ||  ( y  -  z
) ) )
5439, 41, 50, 52, 53syl31anc 1232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( M  ||  ( y  -  z
)  /\  N  ||  (
y  -  z ) )  ->  ( M  x.  N )  ||  (
y  -  z ) ) )
55 moddvds 13870 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( y  mod  M
)  =  ( z  mod  M )  <->  M  ||  (
y  -  z ) ) )
5638, 45, 49, 55syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod 
M )  =  ( z  mod  M )  <-> 
M  ||  ( y  -  z ) ) )
57 moddvds 13870 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( y  mod  N
)  =  ( z  mod  N )  <->  N  ||  (
y  -  z ) ) )
5840, 45, 49, 57syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod 
N )  =  ( z  mod  N )  <-> 
N  ||  ( y  -  z ) ) )
5956, 58anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( y  mod  M )  =  ( z  mod  M
)  /\  ( y  mod  N )  =  ( z  mod  N ) )  <->  ( M  ||  ( y  -  z
)  /\  N  ||  (
y  -  z ) ) ) )
6045zred 10974 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  e.  RR )
6138, 40nnmulcld 10589 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( M  x.  N
)  e.  NN )
6261nnrpd 11264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( M  x.  N
)  e.  RR+ )
63 elfzole1 11815 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  0  <_  y )
6443, 63syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
0  <_  y )
65 elfzolt2 11816 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  y  <  ( M  x.  N ) )
6643, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
y  <  ( M  x.  N ) )
67 modid 11999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  ( M  x.  N
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  y  /\  y  <  ( M  x.  N ) ) )  ->  ( y  mod  ( M  x.  N
) )  =  y )
6860, 62, 64, 66, 67syl22anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  mod  ( M  x.  N )
)  =  y )
6949zred 10974 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  RR )
70 elfzole1 11815 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  0  <_  z )
7147, 70syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
0  <_  z )
72 elfzolt2 11816 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0..^ ( M  x.  N ) )  ->  z  <  ( M  x.  N ) )
7347, 72syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  <  ( M  x.  N ) )
74 modid 11999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( M  x.  N
)  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  z  /\  z  <  ( M  x.  N ) ) )  ->  ( z  mod  ( M  x.  N
) )  =  z )
7569, 62, 71, 73, 74syl22anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z  mod  ( M  x.  N )
)  =  z )
7668, 75eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod  ( M  x.  N
) )  =  ( z  mod  ( M  x.  N ) )  <-> 
y  =  z ) )
77 moddvds 13870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  x.  N
)  e.  NN  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( y  mod  ( M  x.  N )
)  =  ( z  mod  ( M  x.  N ) )  <->  ( M  x.  N )  ||  (
y  -  z ) ) )
7861, 45, 49, 77syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( y  mod  ( M  x.  N
) )  =  ( z  mod  ( M  x.  N ) )  <-> 
( M  x.  N
)  ||  ( y  -  z ) ) )
7976, 78bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( M  x.  N
)  ||  ( y  -  z ) ) )
8054, 59, 793imtr4d 268 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( y  mod  M )  =  ( z  mod  M
)  /\  ( y  mod  N )  =  ( z  mod  N ) )  ->  y  =  z ) )
8137, 80sylbid 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
8281ralrimivva 2864 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
83 dff13 6151 . . 3  |-  ( F : S -1-1-> T  <->  ( F : S --> T  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
8420, 82, 83sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-> T
)
85 nnnn0 10808 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
86 nnnn0 10808 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
87 nn0mulcl 10838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  x.  N
)  e.  NN0 )
88 hashfzo0 12467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  x.  N )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )  =  ( M  x.  N
) )
90 fzofi 12063 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
91 fzofi 12063 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
92 hashxp 12471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  (
0..^ N )  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )  =  ( (
# `  ( 0..^ M ) )  x.  ( # `  (
0..^ N ) ) ) )
9390, 91, 92mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( # `  ( 0..^ M ) )  x.  ( # `  ( 0..^ N ) ) )
94 hashfzo0 12467 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ M ) )  =  M )
95 hashfzo0 12467 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ N ) )  =  N )
9694, 95oveqan12d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  (
0..^ M ) )  x.  ( # `  (
0..^ N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
9793, 96syl5eq 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
9889, 97eqtr4d 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )  =  ( # `  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) ) )
99 fzofi 12063 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  e.  Fin
100 xpfi 7793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  (
0..^ N )  e. 
Fin )  ->  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )
10190, 91, 100mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  e.  Fin
102 hashen 12399 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0..^ ( M  x.  N ) )  e.  Fin  /\  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) )  =  ( # `  ( ( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) ) )
10399, 101, 102mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  ( 0..^ ( M  x.  N
) ) )  =  ( # `  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( 0..^ ( M  x.  N
) )  ~~  (
( 0..^ M )  X.  ( 0..^ N ) ) )
10498, 103sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )
10585, 86, 104syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )
1066, 10, 105syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( M  x.  N ) ) 
~~  ( ( 0..^ M )  X.  (
0..^ N ) ) )
107106, 2, 163brtr4g 4469 . . 3  |-  ( ph  ->  S  ~~  T )
10816, 101eqeltri 2527 . . 3  |-  T  e. 
Fin
109 f1finf1o 7748 . . 3  |-  ( ( S  ~~  T  /\  T  e.  Fin )  ->  ( F : S -1-1-> T  <-> 
F : S -1-1-onto-> T ) )
110107, 108, 109sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( F : S -1-1-> T  <-> 
F : S -1-1-onto-> T ) )
11184, 110mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  F : S -1-1-onto-> T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   <.cop 4020   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   -->wf 5574   -1-1->wf1 5575   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ~~ cen 7515   Fincfn 7518   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   NNcn 10542   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   RR+crp 11229  ..^cfzo 11803    mod cmo 11975   #chash 12384    || cdvds 13863    gcd cgcd 14021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-dvds 13864  df-gcd 14022
This theorem is referenced by:  phimullem  14186
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