Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem crt 14726
 Description: The Chinese Remainder Theorem: the function that maps to its remainder classes and is 1-1 and onto when and are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crt.1 ..^
crt.2 ..^ ..^
crt.3
crt.4
Assertion
Ref Expression
crt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem crt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 11920 . . . . . 6 ..^
2 crt.1 . . . . . 6 ..^
31, 2eleq2s 2547 . . . . 5
4 simpr 463 . . . . . . . 8
5 crt.4 . . . . . . . . . 10
65simp1d 1020 . . . . . . . . 9
76adantr 467 . . . . . . . 8
8 zmodfzo 12119 . . . . . . . 8 ..^
94, 7, 8syl2anc 667 . . . . . . 7 ..^
105simp2d 1021 . . . . . . . . 9
1110adantr 467 . . . . . . . 8
12 zmodfzo 12119 . . . . . . . 8 ..^
134, 11, 12syl2anc 667 . . . . . . 7 ..^
14 opelxpi 4866 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^
159, 13, 14syl2anc 667 . . . . . 6 ..^ ..^
16 crt.2 . . . . . 6 ..^ ..^
1715, 16syl6eleqr 2540 . . . . 5
183, 17sylan2 477 . . . 4
19 crt.3 . . . 4
2018, 19fmptd 6046 . . 3
21 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10
22 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10
2321, 22opeq12d 4174 . . . . . . . . 9
24 opex 4664 . . . . . . . . 9
2523, 19, 24fvmpt 5948 . . . . . . . 8
2625ad2antrl 734 . . . . . . 7
27 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10
28 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10
2927, 28opeq12d 4174 . . . . . . . . 9
30 opex 4664 . . . . . . . . 9
3129, 19, 30fvmpt 5948 . . . . . . . 8
3231ad2antll 735 . . . . . . 7
3326, 32eqeq12d 2466 . . . . . 6
34 ovex 6318 . . . . . . 7
35 ovex 6318 . . . . . . 7
3634, 35opth 4676 . . . . . 6
3733, 36syl6bb 265 . . . . 5
386adantr 467 . . . . . . . 8
3938nnzd 11039 . . . . . . 7
4010adantr 467 . . . . . . . 8
4140nnzd 11039 . . . . . . 7
42 simprl 764 . . . . . . . . . 10
4342, 2syl6eleq 2539 . . . . . . . . 9 ..^
44 elfzoelz 11920 . . . . . . . . 9 ..^
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8
46 simprr 766 . . . . . . . . . 10
4746, 2syl6eleq 2539 . . . . . . . . 9 ..^
48 elfzoelz 11920 . . . . . . . . 9 ..^
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8
5045, 49zsubcld 11045 . . . . . . 7
515simp3d 1022 . . . . . . . 8
5251adantr 467 . . . . . . 7
53 coprmdvds2 14660 . . . . . . 7
5439, 41, 50, 52, 53syl31anc 1271 . . . . . 6
55 moddvds 14312 . . . . . . . 8
5638, 45, 49, 55syl3anc 1268 . . . . . . 7
57 moddvds 14312 . . . . . . . 8
5840, 45, 49, 57syl3anc 1268 . . . . . . 7
5956, 58anbi12d 717 . . . . . 6
6045zred 11040 . . . . . . . . 9
6138, 40nnmulcld 10657 . . . . . . . . . 10
6261nnrpd 11339 . . . . . . . . 9
63 elfzole1 11928 . . . . . . . . . 10 ..^
6443, 63syl 17 . . . . . . . . 9
65 elfzolt2 11929 . . . . . . . . . 10 ..^
6643, 65syl 17 . . . . . . . . 9
67 modid 12121 . . . . . . . . 9
6860, 62, 64, 66, 67syl22anc 1269 . . . . . . . 8
6949zred 11040 . . . . . . . . 9
70 elfzole1 11928 . . . . . . . . . 10 ..^
7147, 70syl 17 . . . . . . . . 9
72 elfzolt2 11929 . . . . . . . . . 10 ..^
7347, 72syl 17 . . . . . . . . 9
74 modid 12121 . . . . . . . . 9
7569, 62, 71, 73, 74syl22anc 1269 . . . . . . . 8
7668, 75eqeq12d 2466 . . . . . . 7
77 moddvds 14312 . . . . . . . 8
7861, 45, 49, 77syl3anc 1268 . . . . . . 7
7976, 78bitr3d 259 . . . . . 6
8054, 59, 793imtr4d 272 . . . . 5
8137, 80sylbid 219 . . . 4
8281ralrimivva 2809 . . 3
83 dff13 6159 . . 3
8420, 82, 83sylanbrc 670 . 2
85 nnnn0 10876 . . . . . 6
86 nnnn0 10876 . . . . . 6
87 nn0mulcl 10906 . . . . . . . . 9
88 hashfzo0 12602 . . . . . . . . 9 ..^
8987, 88syl 17 . . . . . . . 8 ..^
90 fzofi 12187 . . . . . . . . . 10 ..^
91 fzofi 12187 . . . . . . . . . 10 ..^
92 hashxp 12606 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
9390, 91, 92mp2an 678 . . . . . . . . 9 ..^ ..^ ..^ ..^
94 hashfzo0 12602 . . . . . . . . . 10 ..^
95 hashfzo0 12602 . . . . . . . . . 10 ..^
9694, 95oveqan12d 6309 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
9793, 96syl5eq 2497 . . . . . . . 8 ..^ ..^
9889, 97eqtr4d 2488 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
99 fzofi 12187 . . . . . . . 8 ..^
100 xpfi 7842 . . . . . . . . 9 ..^ ..^ ..^ ..^
10190, 91, 100mp2an 678 . . . . . . . 8 ..^ ..^
102 hashen 12530 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
10399, 101, 102mp2an 678 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
10498, 103sylib 200 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^
10585, 86, 104syl2an 480 . . . . 5 ..^ ..^ ..^
1066, 10, 105syl2anc 667 . . . 4 ..^ ..^ ..^
107106, 2, 163brtr4g 4435 . . 3
10816, 101eqeltri 2525 . . 3
109 f1finf1o 7798 . . 3
110107, 108, 109sylancl 668 . 2
11184, 110mpbid 214 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  cop 3974   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cxp 4832  wf 5578  wf1 5579  wf1o 5581  cfv 5582  (class class class)co 6290   cen 7566  cfn 7569  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   cmul 9544   clt 9675   cle 9676   cmin 9860  cn 10609  cn0 10869  cz 10937  crp 11302  ..^cfzo 11915   cmo 12096  chash 12515   cdvds 14305   cgcd 14468 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469 This theorem is referenced by:  phimullem  14727
 Copyright terms: Public domain W3C validator