MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngridl Structured version   Unicode version

Theorem crngridl 17663
Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
crng2idl.i  |-  I  =  (LIdeal `  R )
crngridl.o  |-  O  =  (oppr
`  R )
Assertion
Ref Expression
crngridl  |-  ( R  e.  CRing  ->  I  =  (LIdeal `  O ) )

Proof of Theorem crngridl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crng2idl.i . 2  |-  I  =  (LIdeal `  R )
2 eqidd 2463 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
)
3 crngridl.o . . . . . 6  |-  O  =  (oppr
`  R )
4 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
53, 4opprbas 17057 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  O )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  O )
)
7 ssv 3519 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  C_  _V
87a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  R )  C_  _V )
9 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
103, 9oppradd 17058 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  O )
1110oveqi 6290 . . . . 5  |-  ( x ( +g  `  R
) y )  =  ( x ( +g  `  O ) y )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  O
) y ) )
13 ovex 6302 . . . . 5  |-  ( x ( .r `  R
) y )  e. 
_V
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  _V )
15 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
16 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( .r
`  O )  =  ( .r `  O
)
174, 15, 3, 16crngoppr 17055 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  =  ( x ( .r
`  O ) y ) )
18173expb 1192 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  =  ( x ( .r `  O
) y ) )
192, 6, 8, 12, 14, 18lidlrsppropd 17655 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  O )  /\  (RSpan `  R )  =  (RSpan `  O ) ) )
2019simpld 459 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  (LIdeal `  R
)  =  (LIdeal `  O ) )
211, 20syl5eq 2515 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  I  =  (LIdeal `  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   .rcmulr 14547   CRingccrg 16982  opprcoppr 17050  LIdealclidl 17594  RSpancrsp 17595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-cmn 16591  df-mgp 16927  df-cring 16984  df-oppr 17051  df-lss 17357  df-lsp 17396  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-lidl 17598  df-rsp 17599
This theorem is referenced by:  crng2idl  17664
  Copyright terms: Public domain W3C validator