MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngridl Structured version   Unicode version

Theorem crngridl 17242
Description: In a commutative ring, the left and right ideals coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
crng2idl.i  |-  I  =  (LIdeal `  R )
crngridl.o  |-  O  =  (oppr
`  R )
Assertion
Ref Expression
crngridl  |-  ( R  e.  CRing  ->  I  =  (LIdeal `  O ) )

Proof of Theorem crngridl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crng2idl.i . 2  |-  I  =  (LIdeal `  R )
2 eqidd 2434 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
)
3 crngridl.o . . . . . 6  |-  O  =  (oppr
`  R )
4 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
53, 4opprbas 16655 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  O )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  O )
)
7 ssv 3364 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  C_  _V
87a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  R )  C_  _V )
9 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
103, 9oppradd 16656 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  O )
1110oveqi 6093 . . . . 5  |-  ( x ( +g  `  R
) y )  =  ( x ( +g  `  O ) y )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  O
) y ) )
13 ovex 6105 . . . . 5  |-  ( x ( .r `  R
) y )  e. 
_V
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  _V )
15 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
16 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( .r
`  O )  =  ( .r `  O
)
174, 15, 3, 16crngoppr 16653 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  =  ( x ( .r
`  O ) y ) )
18173expb 1181 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  =  ( x ( .r `  O
) y ) )
192, 6, 8, 12, 14, 18lidlrsppropd 17234 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  O )  /\  (RSpan `  R )  =  (RSpan `  O ) ) )
2019simpld 456 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  (LIdeal `  R
)  =  (LIdeal `  O ) )
211, 20syl5eq 2477 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  I  =  (LIdeal `  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Basecbs 14157   +g cplusg 14221   .rcmulr 14222   CRingccrg 16578  opprcoppr 16648  LIdealclidl 17173  RSpancrsp 17174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-cmn 16259  df-mgp 16566  df-cring 16581  df-oppr 16649  df-lss 16936  df-lsp 16975  df-sra 17175  df-rgmod 17176  df-lidl 17177  df-rsp 17178
This theorem is referenced by:  crng2idl  17243
  Copyright terms: Public domain W3C validator