MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngmgp Structured version   Unicode version

Theorem crngmgp 17076
Description: A commutative ring's multiplication operation is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ringmgp.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
crngmgp  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )

Proof of Theorem crngmgp
StepHypRef Expression
1 ringmgp.g . . 3  |-  G  =  (mulGrp `  R )
21iscrng 17075 . 2  |-  ( R  e.  CRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  G  e. CMnd ) )
32simprbi 464 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  CMndccmn 16669  mulGrpcmgp 17011   Ringcrg 17068   CRingccrg 17069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-iota 5557  df-fv 5602  df-cring 17071
This theorem is referenced by:  crngcom  17083  gsummgp0  17126  prdscrngd  17132  crngbinom  17140  unitabl  17187  subrgcrng  17302  sraassa  17842  mplcoe2OLD  18001  mplbas2  18002  mplbas2OLD  18003  evlslem6  18049  evlslem6OLD  18050  evlslem3  18051  evlslem1  18052  ply1coeOLD  18206  evls1gsummul  18230  evl1gsummul  18264  mamuvs2  18775  matgsumcl  18829  madetsmelbas  18833  madetsmelbas2  18834  mdetleib2  18957  mdetf  18964  mdetdiaglem  18967  mdetdiag  18968  mdetdiagid  18969  mdetrlin  18971  mdetrsca  18972  mdetralt  18977  mdetuni0  18990  smadiadetlem4  19038  chpscmat  19210  chp0mat  19214  chpidmat  19215  amgmlem  23183  amgm  23184  wilthlem2  23207  wilthlem3  23208  lgseisenlem3  23490  lgseisenlem4  23491  mgpsumunsn  32436  mgpsumz  32437  mgpsumn  32438
  Copyright terms: Public domain W3C validator