MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngmgp Structured version   Unicode version

Theorem crngmgp 17333
Description: A commutative ring's multiplication operation is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ringmgp.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
crngmgp  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )

Proof of Theorem crngmgp
StepHypRef Expression
1 ringmgp.g . . 3  |-  G  =  (mulGrp `  R )
21iscrng 17332 . 2  |-  ( R  e.  CRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  G  e. CMnd ) )
32simprbi 464 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  CMndccmn 16925  mulGrpcmgp 17268   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-iota 5557  df-fv 5602  df-cring 17328
This theorem is referenced by:  crngcom  17340  gsummgp0  17383  prdscrngd  17389  crngbinom  17397  unitabl  17444  subrgcrng  17560  sraassa  18101  mplcoe2OLD  18260  mplbas2  18261  mplbas2OLD  18262  evlslem6  18308  evlslem6OLD  18309  evlslem3  18310  evlslem1  18311  ply1coeOLD  18465  evls1gsummul  18489  evl1gsummul  18523  mamuvs2  19035  matgsumcl  19089  madetsmelbas  19093  madetsmelbas2  19094  mdetleib2  19217  mdetf  19224  mdetdiaglem  19227  mdetdiag  19228  mdetdiagid  19229  mdetrlin  19231  mdetrsca  19232  mdetralt  19237  mdetuni0  19250  smadiadetlem4  19298  chpscmat  19470  chp0mat  19474  chpidmat  19475  amgmlem  23445  amgm  23446  wilthlem2  23469  wilthlem3  23470  lgseisenlem3  23752  lgseisenlem4  23753  mgpsumunsn  33074  mgpsumz  33075  mgpsumn  33076
  Copyright terms: Public domain W3C validator