MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngbinom Structured version   Unicode version

Theorem crngbinom 16725
Description: The binomial theorem for commutative rings (special case of csrgbinom 16656): 
( A  +  B
) ^ N is the sum from  k  =  0 to  N of  ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ k
)  x.  ( B ^ ( N  -  k ) ). (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
crngbinom.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
crngbinom.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
crngbinom.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
crngbinom.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
crngbinom.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
crngbinom.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
crngbinom  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S
) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    R, k    S, k    .x. , k    .X. , k    .^ , k    .+ , k
Allowed substitution hint:    G( k)

Proof of Theorem crngbinom
StepHypRef Expression
1 crngrng 16667 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 rngsrg 16695 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. SRing
)
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e. SRing )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  ->  R  e. SRing )
5 crngbinom.g . . . . 5  |-  G  =  (mulGrp `  R )
65crngmgp 16665 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  ->  G  e. CMnd )
8 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
94, 7, 83jca 1168 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( R  e. SRing  /\  G  e. CMnd  /\  N  e.  NN0 ) )
10 crngbinom.s . . 3  |-  S  =  ( Base `  R
)
11 crngbinom.m . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  R )
12 crngbinom.t . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  R )
13 crngbinom.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
14 crngbinom.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  G )
1510, 11, 12, 13, 5, 14csrgbinom 16656 . 2  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  G  e. CMnd  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S ) )  -> 
( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
169, 15sylan 471 1  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S
) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    e. cmpt 4362   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   0cc0 9294    - cmin 9607   NN0cn0 10591   ...cfz 11449    _C cbc 12090   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   .rcmulr 14251    gsumg cgsu 14391  .gcmg 15426  CMndccmn 16289  mulGrpcmgp 16603  SRingcsrg 16619   Ringcrg 16657   CRingccrg 16658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-fac 12064  df-bc 12091  df-hash 12116  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-mhm 15476  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-srg 16620  df-rng 16659  df-cring 16660
This theorem is referenced by:  lply1binom  30863
  Copyright terms: Public domain W3C validator