MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngbinom Structured version   Unicode version

Theorem crngbinom 17397
Description: The binomial theorem for commutative rings (special case of csrgbinom 17324): 
( A  +  B
) ^ N is the sum from  k  =  0 to  N of  ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ k
)  x.  ( B ^ ( N  -  k ) ). (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
crngbinom.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
crngbinom.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
crngbinom.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
crngbinom.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
crngbinom.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
crngbinom.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
crngbinom  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S
) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    R, k    S, k    .x. , k    .X. , k    .^ , k    .+ , k
Allowed substitution hint:    G( k)

Proof of Theorem crngbinom
StepHypRef Expression
1 crngring 17336 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 ringsrg 17364 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. SRing
)
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e. SRing )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  ->  R  e. SRing )
5 crngbinom.g . . . . 5  |-  G  =  (mulGrp `  R )
65crngmgp 17333 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  ->  G  e. CMnd )
8 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
94, 7, 83jca 1176 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( R  e. SRing  /\  G  e. CMnd  /\  N  e.  NN0 ) )
10 crngbinom.s . . 3  |-  S  =  ( Base `  R
)
11 crngbinom.m . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  R )
12 crngbinom.t . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  R )
13 crngbinom.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
14 crngbinom.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  G )
1510, 11, 12, 13, 5, 14csrgbinom 17324 . 2  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  G  e. CMnd  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S ) )  -> 
( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
169, 15sylan 471 1  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S
) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509    - cmin 9824   NN0cn0 10816   ...cfz 11697    _C cbc 12383   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   .rcmulr 14713    gsumg cgsu 14858  .gcmg 16183  CMndccmn 16925  mulGrpcmgp 17268  SRingcsrg 17284   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-srg 17285  df-ring 17327  df-cring 17328
This theorem is referenced by:  lply1binom  18475
  Copyright terms: Public domain W3C validator