MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngbinom Structured version   Unicode version

Theorem crngbinom 17066
Description: The binomial theorem for commutative rings (special case of csrgbinom 16994): 
( A  +  B
) ^ N is the sum from  k  =  0 to  N of  ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ k
)  x.  ( B ^ ( N  -  k ) ). (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
crngbinom.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
crngbinom.m  |-  .X.  =  ( .r `  R )
crngbinom.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
crngbinom.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
crngbinom.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
crngbinom.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
crngbinom  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S
) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    R, k    S, k    .x. , k    .X. , k    .^ , k    .+ , k
Allowed substitution hint:    G( k)

Proof of Theorem crngbinom
StepHypRef Expression
1 crngrng 17005 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 rngsrg 17033 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. SRing
)
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e. SRing )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  ->  R  e. SRing )
5 crngbinom.g . . . . 5  |-  G  =  (mulGrp `  R )
65crngmgp 17003 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  G  e. CMnd )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  ->  G  e. CMnd )
8 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
94, 7, 83jca 1176 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( R  e. SRing  /\  G  e. CMnd  /\  N  e.  NN0 ) )
10 crngbinom.s . . 3  |-  S  =  ( Base `  R
)
11 crngbinom.m . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  R )
12 crngbinom.t . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  R )
13 crngbinom.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
14 crngbinom.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  G )
1510, 11, 12, 13, 5, 14csrgbinom 16994 . 2  |-  ( ( ( R  e. SRing  /\  G  e. CMnd  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S ) )  -> 
( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( N  _C  k ) 
.x.  ( ( ( N  -  k ) 
.^  A )  .X.  ( k  .^  B
) ) ) ) ) )
169, 15sylan 471 1  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S
) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  B ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  B ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    |-> cmpt 4505   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   0cc0 9491    - cmin 9804   NN0cn0 10794   ...cfz 11671    _C cbc 12347   Basecbs 14489   +g cplusg 14554   .rcmulr 14555    gsumg cgsu 14695  .gcmg 15730  CMndccmn 16601  mulGrpcmgp 16940  SRingcsrg 16956   Ringcrg 16995   CRingccrg 16996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-fac 12321  df-bc 12348  df-hash 12373  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-mhm 15783  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-srg 16957  df-rng 16997  df-cring 16998
This theorem is referenced by:  lply1binom  18135
  Copyright terms: Public domain W3C validator