MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crcts Structured version   Unicode version

Theorem crcts 24445
Description: The set of circuits (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
crcts  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( V Circuits  E )  =  { <. f ,  p >.  |  ( f ( V Trails  E ) p  /\  ( p ` 
0 )  =  ( p `  ( # `  f ) ) ) } )
Distinct variable groups:    f, E, p    f, V, p
Allowed substitution hints:    X( f, p)    Y( f, p)

Proof of Theorem crcts
Dummy variables  e 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3127 . 2  |-  ( V  e.  X  ->  V  e.  _V )
2 elex 3127 . 2  |-  ( E  e.  Y  ->  E  e.  _V )
3 df-crct 24335 . . 3  |- Circuits  =  ( v  e.  _V , 
e  e.  _V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ( f ( v Trails 
e ) p  /\  ( p `  0
)  =  ( p `
 ( # `  f
) ) ) } )
4 biidd 237 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  v  =  V  /\  e  =  E
)  ->  ( (
p `  0 )  =  ( p `  ( # `  f ) )  <->  ( p ` 
0 )  =  ( p `  ( # `  f ) ) ) )
5 id 22 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)
6 trliswlk 24364 . . . . . 6  |-  ( f ( V Trails  E ) p  ->  f ( V Walks  E ) p )
7 2mwlk 24344 . . . . . 6  |-  ( f ( V Walks  E ) p  ->  ( f  e. Word  dom  E  /\  p : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V ) )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( f ( V Trails  E ) p  ->  ( f  e. Word  dom  E  /\  p : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V ) )
98gen2 1602 . . . 4  |-  A. f A. p ( f ( V Trails  E ) p  ->  ( f  e. Word  dom  E  /\  p : ( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V ) )
109a1i 11 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  A. f A. p
( f ( V Trails  E ) p  -> 
( f  e. Word  dom  E  /\  p : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V ) ) )
11 dmexg 6726 . . . . . 6  |-  ( E  e.  _V  ->  dom  E  e.  _V )
1211adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  dom  E  e.  _V )
13 wrdexg 12538 . . . . 5  |-  ( dom 
E  e.  _V  -> Word  dom  E  e.  _V )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  -> Word 
dom  E  e.  _V )
15 fzfi 12062 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( # `  f
) )  e.  Fin
16 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  f  e. Word  dom  E
)  ->  V  e.  _V )
17 mapex 7438 . . . . 5  |-  ( ( ( 0 ... ( # `
 f ) )  e.  Fin  /\  V  e.  _V )  ->  { p  |  p : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V }  e.  _V )
1815, 16, 17sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  f  e. Word  dom  E
)  ->  { p  |  p : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V }  e.  _V )
1914, 18opabex3d 6773 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  { <. f ,  p >.  |  ( f  e. Word  dom  E  /\  p : ( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V ) }  e.  _V )
203, 4, 5, 10, 19sprmpt2d 6964 . 2  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V Circuits  E )  =  { <. f ,  p >.  |  ( f ( V Trails  E ) p  /\  ( p ` 
0 )  =  ( p `  ( # `  f ) ) ) } )
211, 2, 20syl2an 477 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y )  ->  ( V Circuits  E )  =  { <. f ,  p >.  |  ( f ( V Trails  E ) p  /\  ( p ` 
0 )  =  ( p `  ( # `  f ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   _Vcvv 3118   class class class wbr 4453   {copab 4510   dom cdm 5005   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   0cc0 9504   ...cfz 11684   #chash 12385  Word cword 12515   Walks cwalk 24321   Trails ctrail 24322   Circuits ccrct 24329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-word 12523  df-wlk 24331  df-trail 24332  df-crct 24335
This theorem is referenced by:  iscrct  24447
  Copyright terms: Public domain W3C validator