MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerlem3 Structured version   Unicode version

Theorem cramerlem3 19169
Description: Lemma 3 for cramer 19171. (Contributed by AV, 21-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramer.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
cramer.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
cramer.v  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
cramer.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
cramer.x  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
cramer.q  |-  ./  =  (/r
`  R )
Assertion
Ref Expression
cramerlem3  |-  ( ( ( N  =/=  (/)  /\  R  e.  CRing )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( D `  X
)  e.  (Unit `  R ) )  -> 
( Z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) )  ->  ( X  .x.  Z )  =  Y ) )
Distinct variable groups:    B, i    D, i    i, N    R, i    i, V    i, X    i, Y    i, Z    .x. , i    ./ , i
Allowed substitution hint:    A( i)

Proof of Theorem cramerlem3
Dummy variables  z 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cramer.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 cramer.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 cramer.v . . 3  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
4 cramer.x . . 3  |-  .x.  =  ( R maVecMul  <. N ,  N >. )
5 cramer.d . . 3  |-  D  =  ( N maDet  R )
61, 2, 3, 4, 5slesolex 19162 . 2  |-  ( ( ( N  =/=  (/)  /\  R  e.  CRing )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( D `  X
)  e.  (Unit `  R ) )  ->  E. v  e.  V  ( X  .x.  v )  =  Y )
7 cramer.q . . . . 5  |-  ./  =  (/r
`  R )
81, 2, 3, 5, 4, 7cramerlem2 19168 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( D `  X
)  e.  (Unit `  R ) )  ->  A. z  e.  V  ( ( X  .x.  z )  =  Y  ->  z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) ) ) )
983adant1l 1221 . . 3  |-  ( ( ( N  =/=  (/)  /\  R  e.  CRing )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( D `  X
)  e.  (Unit `  R ) )  ->  A. z  e.  V  ( ( X  .x.  z )  =  Y  ->  z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) ) ) )
10 oveq2 6289 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  v  ->  ( X  .x.  z )  =  ( X  .x.  v
) )
1110eqeq1d 2445 . . . . . . 7  |-  ( z  =  v  ->  (
( X  .x.  z
)  =  Y  <->  ( X  .x.  v )  =  Y ) )
12 oveq2 6289 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `
 ( ( X ( N matRepV  R ) Y ) `  i
) )  ./  ( D `  X )
) )  ->  ( X  .x.  v )  =  ( X  .x.  (
i  e.  N  |->  ( ( D `  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) ) ) )
1312eqeq1d 2445 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `
 ( ( X ( N matRepV  R ) Y ) `  i
) )  ./  ( D `  X )
) )  ->  (
( X  .x.  v
)  =  Y  <->  ( X  .x.  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  ( ( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) ) )  =  Y ) )
1411, 13rexraleqim 3211 . . . . . 6  |-  ( ( E. v  e.  V  ( X  .x.  v )  =  Y  /\  A. z  e.  V  (
( X  .x.  z
)  =  Y  -> 
z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  ( ( X ( N matRepV  R
) Y ) `  i ) )  ./  ( D `  X ) ) ) ) )  ->  ( X  .x.  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  ( ( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) ) )  =  Y )
15 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `
 ( ( X ( N matRepV  R ) Y ) `  i
) )  ./  ( D `  X )
) )  ->  ( X  .x.  Z )  =  ( X  .x.  (
i  e.  N  |->  ( ( D `  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) ) ) )
1615adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  .x.  (
i  e.  N  |->  ( ( D `  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) ) )  =  Y  /\  Z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  ( ( X ( N matRepV  R
) Y ) `  i ) )  ./  ( D `  X ) ) ) )  -> 
( X  .x.  Z
)  =  ( X 
.x.  ( i  e.  N  |->  ( ( D `
 ( ( X ( N matRepV  R ) Y ) `  i
) )  ./  ( D `  X )
) ) ) )
17 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  .x.  (
i  e.  N  |->  ( ( D `  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) ) )  =  Y  /\  Z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  ( ( X ( N matRepV  R
) Y ) `  i ) )  ./  ( D `  X ) ) ) )  -> 
( X  .x.  (
i  e.  N  |->  ( ( D `  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) ) )  =  Y )
1816, 17eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  .x.  (
i  e.  N  |->  ( ( D `  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) ) )  =  Y  /\  Z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  ( ( X ( N matRepV  R
) Y ) `  i ) )  ./  ( D `  X ) ) ) )  -> 
( X  .x.  Z
)  =  Y )
1918ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( X  .x.  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  ( ( X ( N matRepV  R
) Y ) `  i ) )  ./  ( D `  X ) ) ) )  =  Y  ->  ( Z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `
 ( ( X ( N matRepV  R ) Y ) `  i
) )  ./  ( D `  X )
) )  ->  ( X  .x.  Z )  =  Y ) )
2019a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ( X  .x.  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  ( ( X ( N matRepV  R
) Y ) `  i ) )  ./  ( D `  X ) ) ) )  =  Y  ->  ( (
( N  =/=  (/)  /\  R  e.  CRing )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( D `  X
)  e.  (Unit `  R ) )  -> 
( Z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) )  ->  ( X  .x.  Z )  =  Y ) ) )
2114, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( E. v  e.  V  ( X  .x.  v )  =  Y  /\  A. z  e.  V  (
( X  .x.  z
)  =  Y  -> 
z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  ( ( X ( N matRepV  R
) Y ) `  i ) )  ./  ( D `  X ) ) ) ) )  ->  ( ( ( N  =/=  (/)  /\  R  e.  CRing )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( D `  X
)  e.  (Unit `  R ) )  -> 
( Z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) )  ->  ( X  .x.  Z )  =  Y ) ) )
2221expcom 435 . . . 4  |-  ( A. z  e.  V  (
( X  .x.  z
)  =  Y  -> 
z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  ( ( X ( N matRepV  R
) Y ) `  i ) )  ./  ( D `  X ) ) ) )  -> 
( E. v  e.  V  ( X  .x.  v )  =  Y  ->  ( ( ( N  =/=  (/)  /\  R  e.  CRing )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( D `  X
)  e.  (Unit `  R ) )  -> 
( Z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) )  ->  ( X  .x.  Z )  =  Y ) ) ) )
2322com23 78 . . 3  |-  ( A. z  e.  V  (
( X  .x.  z
)  =  Y  -> 
z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  ( ( X ( N matRepV  R
) Y ) `  i ) )  ./  ( D `  X ) ) ) )  -> 
( ( ( N  =/=  (/)  /\  R  e. 
CRing )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( D `  X
)  e.  (Unit `  R ) )  -> 
( E. v  e.  V  ( X  .x.  v )  =  Y  ->  ( Z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  ( ( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) )  ->  ( X  .x.  Z )  =  Y ) ) ) )
249, 23mpcom 36 . 2  |-  ( ( ( N  =/=  (/)  /\  R  e.  CRing )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( D `  X
)  e.  (Unit `  R ) )  -> 
( E. v  e.  V  ( X  .x.  v )  =  Y  ->  ( Z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  ( ( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) )  ->  ( X  .x.  Z )  =  Y ) ) )
256, 24mpd 15 1  |-  ( ( ( N  =/=  (/)  /\  R  e.  CRing )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  V )  /\  ( D `  X
)  e.  (Unit `  R ) )  -> 
( Z  =  ( i  e.  N  |->  ( ( D `  (
( X ( N matRepV  R ) Y ) `
 i ) ) 
./  ( D `  X ) ) )  ->  ( X  .x.  Z )  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   (/)c0 3770   <.cop 4020    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422   Basecbs 14614   CRingccrg 17178  Unitcui 17267  /rcdvr 17310   Mat cmat 18887   maVecMul cmvmul 19020   matRepV cmatrepV 19037   maDet cmdat 19064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-xor 1365  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-word 12524  df-concat 12526  df-s1 12527  df-substr 12528  df-splice 12529  df-reverse 12530  df-s2 12795  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-prds 14827  df-pws 14829  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-ghm 16244  df-gim 16286  df-cntz 16334  df-oppg 16360  df-symg 16382  df-pmtr 16446  df-psgn 16495  df-evpm 16496  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-srg 17137  df-ring 17179  df-cring 17180  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-dvr 17311  df-rnghom 17343  df-drng 17377  df-subrg 17406  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-assa 17940  df-cnfld 18400  df-zring 18468  df-zrh 18519  df-dsmm 18741  df-frlm 18756  df-mamu 18864  df-mat 18888  df-mvmul 19021  df-marrep 19038  df-marepv 19039  df-subma 19057  df-mdet 19065  df-madu 19114  df-minmar1 19115
This theorem is referenced by:  cramer  19171
  Copyright terms: Public domain W3C validator