Theorem cramerimplem3 19703

Description: Lemma 3 for cramerimp 19704: The determinant of the matrix of a system of linear equations multiplied with the determinant of the identity matrix with the ith column replaced by the solution vector of the system of linear equations equals the determinant of the matrix of the system of linear equations with the ith column replaced by the right-hand side vector of the system of linear equations. (Contributed by AV, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cramerimp.a	|- A = ( N Mat R )
cramerimp.b	|- B = ( Base ` A )
cramerimp.v	|- V = ( ( Base ` R ) ^m N )
cramerimp.e	|- E = ( ( ( 1r ` A ) ( N matRepV R ) Z ) ` I )
cramerimp.h	|- H = ( ( X ( N matRepV R ) Y ) ` I )
cramerimp.x	|- .x. = ( R maVecMul <. N , N >. )
cramerimp.d	|- D = ( N maDet R )
cramerimp.t	|- .(x) = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
cramerimplem3	|- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> ( ( D ` X ) .(x) ( D ` E ) ) = ( D ` H ) )

Proof of Theorem cramerimplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ I e. N ) -> R e. CRing )
2		cramerimp.a	. . . . . . . . . 10 |- A = ( N Mat R )
3		cramerimp.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` A )
4	2, 3	matrcl 19430	. . . . . . . . 9 |- ( X e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
5	4	simpld 461	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> N e. Fin )
6	5	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. V ) -> N e. Fin )
7	1, 6	anim12ci 570	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing ) )
8	7	3adant3 1027	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing ) )
9		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
10	2, 9	matmulr 19456	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
11	8, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
12	11	oveqd 6305	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> ( X ( R maMul <. N , N , N >. ) E ) = ( X ( .r ` A ) E ) )
13	12	fveq2d 5867	. 2 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> ( D ` ( X ( R maMul <. N , N , N >. ) E ) ) = ( D ` ( X ( .r ` A ) E ) ) )
14		cramerimp.v	. . . 4 |- V = ( ( Base ` R ) ^m N )
15		cramerimp.e	. . . 4 |- E = ( ( ( 1r ` A ) ( N matRepV R ) Z ) ` I )
16		cramerimp.h	. . . 4 |- H = ( ( X ( N matRepV R ) Y ) ` I )
17		cramerimp.x	. . . 4 |- .x. = ( R maVecMul <. N , N >. )
18	2, 3, 14, 15, 16, 17, 9	cramerimplem2 19702	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> ( X ( R maMul <. N , N , N >. ) E ) = H )
19	18	fveq2d 5867	. 2 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> ( D ` ( X ( R maMul <. N , N , N >. ) E ) ) = ( D ` H ) )
20		simp1l 1031	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> R e. CRing )
21		simp2l 1033	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> X e. B )
22		crngring 17784	. . . . . . . 8 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
23	22	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ I e. N ) -> R e. Ring )
24	23, 6	anim12i 569	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) ) -> ( R e. Ring /\ N e. Fin ) )
25	24	3adant3 1027	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> ( R e. Ring /\ N e. Fin ) )
26		ne0i 3736	. . . . . . . 8 |- ( I e. N -> N =/= (/) )
27	22, 26	anim12ci 570	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ I e. N ) -> ( N =/= (/) /\ R e. Ring ) )
28	2, 3, 14, 17	slesolvec 19697	. . . . . . 7 |- ( ( ( N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) ) -> ( ( X .x. Z ) = Y -> Z e. V ) )
29	27, 28	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) ) -> ( ( X .x. Z ) = Y -> Z e. V ) )
30	29	3impia 1204	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> Z e. V )
31		simp1r 1032	. . . . 5 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> I e. N )
32		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( 1r ` A ) = ( 1r ` A )
33	2, 3, 14, 32	ma1repvcl 19588	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) /\ ( Z e. V /\ I e. N ) ) -> ( ( ( 1r ` A ) ( N matRepV R ) Z ) ` I ) e. B )
34	25, 30, 31, 33	syl12anc 1265	. . . 4 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> ( ( ( 1r ` A ) ( N matRepV R ) Z ) ` I ) e. B )
35	15, 34	syl5eqel 2532	. . 3 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> E e. B )
36		cramerimp.d	. . . 4 |- D = ( N maDet R )
37		cramerimp.t	. . . 4 |- .(x) = ( .r ` R )
38		eqid 2450	. . . 4 |- ( .r ` A ) = ( .r ` A )
39	2, 3, 36, 37, 38	mdetmul 19641	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ X e. B /\ E e. B ) -> ( D ` ( X ( .r ` A ) E ) ) = ( ( D ` X ) .(x) ( D ` E ) ) )
40	20, 21, 35, 39	syl3anc 1267	. 2 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> ( D ` ( X ( .r ` A ) E ) ) = ( ( D ` X ) .(x) ( D ` E ) ) )
41	13, 19, 40	3eqtr3rd 2493	1 |- ( ( ( R e. CRing /\ I e. N ) /\ ( X e. B /\ Y e. V ) /\ ( X .x. Z ) = Y ) -> ( ( D ` X ) .(x) ( D ` E ) ) = ( D ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   _Vcvv 3044   (/)c0 3730   <.cop 3973   <.cotp 3975   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ^m cmap 7469   Fincfn 7566   Basecbs 15114   .rcmulr 15184   1rcur 17728   Ringcrg 17773   CRingccrg 17774   maMul cmmul 19401   Mat cmat 19425   maVecMul cmvmul 19558   matRepV cmatrepV 19575   maDet cmdat 19602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-xor 1405  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-ot 3976  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-word 12661  df-lsw 12662  df-concat 12663  df-s1 12664  df-substr 12665  df-splice 12666  df-reverse 12667  df-s2 12939  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-prds 15339  df-pws 15341  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-gim 16916  df-cntz 16964  df-oppg 16990  df-symg 17012  df-pmtr 17076  df-psgn 17125  df-evpm 17126  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-srg 17733  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-rnghom 17936  df-drng 17970  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-cnfld 18964  df-zring 19033  df-zrh 19068  df-dsmm 19288  df-frlm 19303  df-mamu 19402  df-mat 19426  df-mvmul 19559  df-marepv 19577  df-mdet 19603

This theorem is referenced by:  cramerimp  19704