Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerimplem1 Structured version   Unicode version

Theorem cramerimplem1 19054
 Description: Lemma 1 for cramerimp 19057: The determinant of the identity matrix with the ith column replaced by a (column) vector equals the ith component of the vector. (Contributed by AV, 15-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramerimplem1.a Mat
cramerimplem1.b
cramerimplem1.v
cramerimplem1.e matRepV
Assertion
Ref Expression
cramerimplem1

Proof of Theorem cramerimplem1
StepHypRef Expression
1 crngring 17081 . . . . . . . . 9
21anim2i 569 . . . . . . . 8
32ancomd 451 . . . . . . 7
433adant3 1016 . . . . . 6
54adantr 465 . . . . 5
6 simp3 998 . . . . . 6
76anim1i 568 . . . . 5
8 cramerimplem1.v . . . . . 6
9 cramerimplem1.a . . . . . . 7 Mat
109fveq2i 5875 . . . . . 6 Mat
11 cramerimplem1.e . . . . . 6 matRepV
128, 10, 111marepvmarrepid 18946 . . . . 5 matRRep
135, 7, 12syl2anc 661 . . . 4 matRRep
1413eqcomd 2475 . . 3 matRRep
1514fveq2d 5876 . 2 matRRep
16 cramerimplem1.d . . . . 5 maDet
1716a1i 11 . . . 4 maDet
1817fveq1d 5874 . . 3 matRRep maDet matRRep
19 simpl2 1000 . . . 4
207ancomd 451 . . . . . 6
219eqcomi 2480 . . . . . . . 8 Mat
2221fveq2i 5875 . . . . . . 7 Mat
23 eqid 2467 . . . . . . 7
249, 22, 8, 23ma1repvcl 18941 . . . . . 6 matRepV Mat
255, 20, 24syl2anc 661 . . . . 5 matRepV Mat
2611, 25syl5eqel 2559 . . . 4 Mat
276adantr 465 . . . 4
28 elmapi 7452 . . . . . . . . 9
29 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . 10
3029ex 434 . . . . . . . . 9
3128, 30syl 16 . . . . . . . 8
3231, 8eleq2s 2575 . . . . . . 7
3332com12 31 . . . . . 6
34333ad2ant3 1019 . . . . 5
3534imp 429 . . . 4
3719, 26, 27, 35, 36syl22anc 1229 . . 3 maDet matRRep maDet subMat
3818, 37eqtrd 2508 . 2 matRRep maDet subMat
398, 10, 111marepvsma1 18954 . . . . . 6 subMat Mat
405, 7, 39syl2anc 661 . . . . 5 subMat Mat
43 diffi 7763 . . . . . . . . 9
4443anim1i 568 . . . . . . . 8
4544ancomd 451 . . . . . . 7
46453adant3 1016 . . . . . 6
4746adantr 465 . . . . 5
49 eqid 2467 . . . . . 6 Mat Mat
50 eqid 2467 . . . . . 6 Mat Mat
51 eqid 2467 . . . . . 6
5248, 49, 50, 51mdet1 18972 . . . . 5 maDet Mat
5347, 52syl 16 . . . 4 maDet Mat
5453oveq2d 6311 . . 3 maDet Mat
5513ad2ant2 1018 . . . . 5
5655adantr 465 . . . 4
57 eqid 2467 . . . . 5
58 eqid 2467 . . . . 5
5957, 58, 51ringridm 17095 . . . 4
6056, 35, 59syl2anc 661 . . 3
6142, 54, 603eqtrd 2512 . 2 maDet subMat
6215, 38, 613eqtrd 2512 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   cdif 3478  csn 4033  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmap 7432  cfn 7528  cbs 14507  cmulr 14573  cur 17025  crg 17070  ccrg 17071   Mat cmat 18778   matRRep cmarrep 18927   matRepV cmatrepV 18928   subMat csubma 18947   maDet cmdat 18955 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-splice 12528  df-reverse 12529  df-s2 12793  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-gim 16179  df-cntz 16227  df-oppg 16253  df-symg 16275  df-pmtr 16340  df-psgn 16389  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-srg 17030  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-rnghom 17236  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-zrh 18410  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-mamu 18755  df-mat 18779  df-marrep 18929  df-marepv 18930  df-subma 18948  df-mdet 18956  df-minmar1 19006 This theorem is referenced by:  cramerimp  19057
 Copyright terms: Public domain W3C validator