MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerimplem1 Structured version   Unicode version

Theorem cramerimplem1 18487
Description: Lemma 1 for cramerimp 18490: The determinant of the identity matrix with the ith column replaced by a (column) vector equals the ith component of the vector. (Contributed by AV, 15-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramerimplem1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
cramerimplem1.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
cramerimplem1.v  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
cramerimplem1.e  |-  E  =  ( ( ( 1r
`  A ) ( N matRepV  R ) Z ) `
 I )
cramerimplem1.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
Assertion
Ref Expression
cramerimplem1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  ( D `  E )  =  ( Z `  I ) )

Proof of Theorem cramerimplem1
StepHypRef Expression
1 crngrng 16653 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
21anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
32ancomd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )
)
433adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  ->  ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin ) )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin ) )
6 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  ->  I  e.  N )
76anim1i 568 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  (
I  e.  N  /\  Z  e.  V )
)
8 cramerimplem1.v . . . . . 6  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
9 cramerimplem1.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
109fveq2i 5692 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  ( N Mat  R ) )
11 cramerimplem1.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( ( 1r
`  A ) ( N matRepV  R ) Z ) `
 I )
128, 10, 111marepvmarrepid 18384 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  (
I ( E ( N matRRep  R ) ( Z `
 I ) ) I )  =  E )
135, 7, 12syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  (
I ( E ( N matRRep  R ) ( Z `
 I ) ) I )  =  E )
1413eqcomd 2446 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  E  =  ( I ( E ( N matRRep  R
) ( Z `  I ) ) I ) )
1514fveq2d 5693 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  ( D `  E )  =  ( D `  ( I ( E ( N matRRep  R )
( Z `  I
) ) I ) ) )
16 cramerimplem1.d . . . . 5  |-  D  =  ( N maDet  R )
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  D  =  ( N maDet  R
) )
1817fveq1d 5691 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  ( D `  ( I
( E ( N matRRep  R ) ( Z `
 I ) ) I ) )  =  ( ( N maDet  R
) `  ( I
( E ( N matRRep  R ) ( Z `
 I ) ) I ) ) )
19 simpl2 992 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  R  e.  CRing )
207ancomd 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  ( Z  e.  V  /\  I  e.  N )
)
219eqcomi 2445 . . . . . . . 8  |-  ( N Mat 
R )  =  A
2221fveq2i 5692 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( N Mat  R ) )  =  ( Base `  A )
23 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
249, 22, 8, 23ma1repvcl 18379 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( Z  e.  V  /\  I  e.  N
) )  ->  (
( ( 1r `  A ) ( N matRepV  R ) Z ) `
 I )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
255, 20, 24syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  (
( ( 1r `  A ) ( N matRepV  R ) Z ) `
 I )  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
2611, 25syl5eqel 2525 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  E  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
276adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  I  e.  N )
28 elmapi 7232 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  N
)  ->  Z : N
--> ( Base `  R
) )
29 ffvelrn 5839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z : N --> ( Base `  R )  /\  I  e.  N )  ->  ( Z `  I )  e.  ( Base `  R
) )
3029ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( Z : N --> ( Base `  R )  ->  (
I  e.  N  -> 
( Z `  I
)  e.  ( Base `  R ) ) )
3128, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  N
)  ->  ( I  e.  N  ->  ( Z `
 I )  e.  ( Base `  R
) ) )
3231, 8eleq2s 2533 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  V  ->  (
I  e.  N  -> 
( Z `  I
)  e.  ( Base `  R ) ) )
3332com12 31 . . . . . 6  |-  ( I  e.  N  ->  ( Z  e.  V  ->  ( Z `  I )  e.  ( Base `  R
) ) )
34333ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  ->  ( Z  e.  V  ->  ( Z `  I )  e.  ( Base `  R
) ) )
3534imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  ( Z `  I )  e.  ( Base `  R
) )
36 smadiadetr 18479 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  E  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )  /\  (
I  e.  N  /\  ( Z `  I )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( N maDet  R
) `  ( I
( E ( N matRRep  R ) ( Z `
 I ) ) I ) )  =  ( ( Z `  I ) ( .r
`  R ) ( ( ( N  \  { I } ) maDet 
R ) `  (
I ( ( N subMat  R ) `  E
) I ) ) ) )
3719, 26, 27, 35, 36syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  (
( N maDet  R ) `  ( I ( E ( N matRRep  R )
( Z `  I
) ) I ) )  =  ( ( Z `  I ) ( .r `  R
) ( ( ( N  \  { I } ) maDet  R ) `  ( I ( ( N subMat  R ) `  E ) I ) ) ) )
3818, 37eqtrd 2473 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  ( D `  ( I
( E ( N matRRep  R ) ( Z `
 I ) ) I ) )  =  ( ( Z `  I ) ( .r
`  R ) ( ( ( N  \  { I } ) maDet 
R ) `  (
I ( ( N subMat  R ) `  E
) I ) ) ) )
398, 10, 111marepvsma1 18392 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  /\  ( I  e.  N  /\  Z  e.  V
) )  ->  (
I ( ( N subMat  R ) `  E
) I )  =  ( 1r `  (
( N  \  {
I } ) Mat  R
) ) )
405, 7, 39syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  (
I ( ( N subMat  R ) `  E
) I )  =  ( 1r `  (
( N  \  {
I } ) Mat  R
) ) )
4140fveq2d 5693 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  (
( ( N  \  { I } ) maDet 
R ) `  (
I ( ( N subMat  R ) `  E
) I ) )  =  ( ( ( N  \  { I } ) maDet  R ) `  ( 1r `  ( ( N  \  { I } ) Mat  R )
) ) )
4241oveq2d 6105 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  (
( Z `  I
) ( .r `  R ) ( ( ( N  \  {
I } ) maDet  R
) `  ( I
( ( N subMat  R
) `  E )
I ) ) )  =  ( ( Z `
 I ) ( .r `  R ) ( ( ( N 
\  { I }
) maDet  R ) `  ( 1r `  ( ( N 
\  { I }
) Mat  R ) ) ) ) )
43 diffi 7541 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { I }
)  e.  Fin )
4443anim1i 568 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( ( N  \  { I } )  e.  Fin  /\  R  e.  CRing ) )
4544ancomd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( R  e.  CRing  /\  ( N  \  {
I } )  e. 
Fin ) )
46453adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  ->  ( R  e.  CRing  /\  ( N  \  { I }
)  e.  Fin )
)
4746adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  ( R  e.  CRing  /\  ( N  \  { I }
)  e.  Fin )
)
48 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( ( N  \  { I } ) maDet  R )  =  ( ( N  \  { I } ) maDet 
R )
49 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( ( N  \  { I } ) Mat  R )  =  ( ( N 
\  { I }
) Mat  R )
50 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  ( ( N 
\  { I }
) Mat  R ) )  =  ( 1r `  ( ( N  \  { I } ) Mat 
R ) )
51 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
5248, 49, 50, 51mdet1 18406 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( N  \  { I }
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( N 
\  { I }
) maDet  R ) `  ( 1r `  ( ( N 
\  { I }
) Mat  R ) ) )  =  ( 1r
`  R ) )
5347, 52syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  (
( ( N  \  { I } ) maDet 
R ) `  ( 1r `  ( ( N 
\  { I }
) Mat  R ) ) )  =  ( 1r
`  R ) )
5453oveq2d 6105 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  (
( Z `  I
) ( .r `  R ) ( ( ( N  \  {
I } ) maDet  R
) `  ( 1r `  ( ( N  \  { I } ) Mat 
R ) ) ) )  =  ( ( Z `  I ) ( .r `  R
) ( 1r `  R ) ) )
5513ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
5655adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  R  e.  Ring )
57 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
58 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5957, 58, 51rngridm 16667 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Z `  I )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Z `  I
) ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  ( Z `  I ) )
6056, 35, 59syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  (
( Z `  I
) ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  ( Z `  I ) )
6142, 54, 603eqtrd 2477 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  (
( Z `  I
) ( .r `  R ) ( ( ( N  \  {
I } ) maDet  R
) `  ( I
( ( N subMat  R
) `  E )
I ) ) )  =  ( Z `  I ) )
6215, 38, 613eqtrd 2477 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  I  e.  N )  /\  Z  e.  V )  ->  ( D `  E )  =  ( Z `  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3323   {csn 3875   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    ^m cmap 7212   Fincfn 7308   Basecbs 14172   .rcmulr 14237   1rcur 16601   Ringcrg 16643   CRingccrg 16644   Mat cmat 18278   matRRep cmarrep 18365   matRepV cmatrepV 18366   subMat csubma 18385   maDet cmdat 18393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-ot 3884  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-rp 10990  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-word 12227  df-concat 12229  df-s1 12230  df-substr 12231  df-splice 12232  df-reverse 12233  df-s2 12473  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-prds 14384  df-pws 14386  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-mulg 15546  df-subg 15676  df-ghm 15743  df-gim 15785  df-cntz 15833  df-oppg 15859  df-symg 15881  df-pmtr 15946  df-psgn 15995  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-rnghom 16804  df-drng 16832  df-subrg 16861  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-cnfld 17817  df-zring 17882  df-zrh 17933  df-dsmm 18155  df-frlm 18170  df-mamu 18279  df-mat 18280  df-marrep 18367  df-marepv 18368  df-subma 18386  df-mdet 18394  df-minmar1 18439
This theorem is referenced by:  cramerimp  18490
  Copyright terms: Public domain W3C validator