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Theorem cpnord 22766
Description:  C^n conditions are ordered by strength. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnord  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
C^n `  S
) `  N )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )

Proof of Theorem cpnord
Dummy variables  f  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( C^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C^n `  S
) `  M )
)
21sseq1d 3497 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  n )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C^n `  S ) `
 M )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) ) )
32imbi2d 317 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  M
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) ) )
4 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( C^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C^n `  S
) `  m )
)
54sseq1d 3497 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  n )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) ) )
65imbi2d 317 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  m
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) ) )
7 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( C^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C^n `  S
) `  ( m  +  1 ) ) )
87sseq1d 3497 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  n )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C^n `  S ) `
 ( m  + 
1 ) )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) ) )
98imbi2d 317 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) ) )
10 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( C^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C^n `  S
) `  N )
)
1110sseq1d 3497 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  n )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C^n `  S ) `
 N )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) ) )
1211imbi2d 317 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) ) )
13 ssid 3489 . . . . 5  |-  ( ( C^n `  S
) `  M )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M )
14132a1i 12 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C^n `
 S ) `  M )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
) ) )
15 simprl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
f  e.  ( CC 
^pm  S ) )
16 recnprss 22736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
1716ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  S  C_  CC )
1817adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  S  C_  CC )
19 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
20 eluznn0 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  m  e.  NN0 )
2120adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  m  e.  NN0 )
2221adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
23 dvnf 22758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn f ) `
 m ) : dom  ( ( S  Dn f ) `
 m ) --> CC )
2419, 15, 22, 23syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  m ) : dom  ( ( S  Dn f ) `  m ) --> CC )
25 dvnbss 22759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  Dn f ) `  m ) 
C_  dom  f )
2619, 15, 22, 25syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  Dn f ) `  m )  C_  dom  f )
27 dvnp1 22756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  C_  CC  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) ) )
2818, 15, 22, 27syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  ( m  +  1
) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `  m ) ) )
29 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  ( m  +  1
) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
3028, 29eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
31 cncff 21821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `  m ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `
 m ) ) : dom  f --> CC )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) ) : dom  f
--> CC )
33 fdm 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `  m ) ) : dom  f --> CC  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `  m ) )  =  dom  f )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) )  =  dom  f )
35 cnex 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  e.  _V
36 elpm2g 7496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( f : dom  f --> CC  /\  dom  f  C_  S ) ) )
3735, 19, 36sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( f : dom  f --> CC  /\  dom  f  C_  S ) ) )
3815, 37mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f : dom  f
--> CC  /\  dom  f  C_  S ) )
3938simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  f  C_  S )
4026, 39sstrd 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  Dn f ) `  m )  C_  S
)
4118, 24, 40dvbss 22733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) )  C_  dom  ( ( S  Dn f ) `  m ) )
4234, 41eqsstr3d 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  f  C_  dom  (
( S  Dn
f ) `  m
) )
4326, 42eqssd 3487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  Dn f ) `  m )  =  dom  f )
4443feq2d 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( ( S  Dn f ) `
 m ) : dom  ( ( S  Dn f ) `
 m ) --> CC  <->  ( ( S  Dn
f ) `  m
) : dom  f --> CC ) )
4524, 44mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  m ) : dom  f
--> CC )
46 dvcn 22752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( ( S  Dn f ) `  m ) : dom  f
--> CC  /\  dom  f  C_  S )  /\  dom  ( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) )  =  dom  f )  ->  (
( S  Dn
f ) `  m
)  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
4718, 45, 39, 34, 46syl31anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
4815, 47jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  /\  ( ( S  Dn f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )
4948ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )  ->  (
f  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  ( ( S  Dn f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
50 peano2nn0 10910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
5121, 50syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( m  +  1 )  e.  NN0 )
52 elcpn 22765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
m  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( f  e.  ( ( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5317, 51, 52syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
54 elcpn 22765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
f  e.  ( ( C^n `  S
) `  m )  <->  ( f  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  ( ( S  Dn f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5517, 21, 54syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C^n `  S ) `  m
)  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5649, 53, 553imtr4d 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  ->  f  e.  ( ( C^n `
 S ) `  m ) ) )
5756ssrdv 3476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( C^n `
 S ) `  ( m  +  1
) )  C_  (
( C^n `  S ) `  m
) )
58 sstr2 3477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C^n `  S
) `  m )  ->  ( ( ( C^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M )  ->  (
( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) )
5957, 58syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( ( C^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M )  ->  (
( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) )
6059expcom 436 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  m )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  ->  ( (
C^n `  S
) `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( ( C^n `  S ) `
 M ) ) ) )
6160a2d 29 . . . 4  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C^n `
 S ) `  m )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
) )  ->  (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C^n `
 S ) `  ( m  +  1
) )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
) ) ) )
623, 6, 9, 12, 14, 61uzind4 11217 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) )
6362com12 32 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (
( C^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) )
64633impia 1202 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
C^n `  S
) `  N )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   {cpr 4004   dom cdm 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^pm cpm 7481   CCcc 9536   RRcr 9537   1c1 9539    + caddc 9541   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   -cn->ccncf 21804    _D cdv 22695    Dncdvn 22696   C^nccpn 22697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-dvn 22700  df-cpn 22701
This theorem is referenced by:  cpncn  22767  c1lip2  22827
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