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Theorem cpnord 21384
Description:  C^n conditions are ordered by strength. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnord  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
C^n `  S
) `  N )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )

Proof of Theorem cpnord
Dummy variables  f  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( C^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C^n `  S
) `  M )
)
21sseq1d 3378 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  n )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C^n `  S ) `
 M )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) ) )
32imbi2d 316 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  M
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) ) )
4 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( C^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C^n `  S
) `  m )
)
54sseq1d 3378 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  n )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) ) )
65imbi2d 316 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  m
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) ) )
7 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( C^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C^n `  S
) `  ( m  +  1 ) ) )
87sseq1d 3378 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  n )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C^n `  S ) `
 ( m  + 
1 ) )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) ) )
98imbi2d 316 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) ) )
10 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( C^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C^n `  S
) `  N )
)
1110sseq1d 3378 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  n )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C^n `  S ) `
 N )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) ) )
1211imbi2d 316 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) ) )
13 ssid 3370 . . . . 5  |-  ( ( C^n `  S
) `  M )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M )
1413a1ii 27 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C^n `
 S ) `  M )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
) ) )
15 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
f  e.  ( CC 
^pm  S ) )
16 recnprss 21354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  S  C_  CC )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  S  C_  CC )
19 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
20 eluznn0 10916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  m  e.  NN0 )
2120adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  m  e.  NN0 )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
23 dvnf 21376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn f ) `
 m ) : dom  ( ( S  Dn f ) `
 m ) --> CC )
2419, 15, 22, 23syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  m ) : dom  ( ( S  Dn f ) `  m ) --> CC )
25 dvnbss 21377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  Dn f ) `  m ) 
C_  dom  f )
2619, 15, 22, 25syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  Dn f ) `  m )  C_  dom  f )
27 dvnp1 21374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  C_  CC  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) ) )
2818, 15, 22, 27syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  ( m  +  1
) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `  m ) ) )
29 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  ( m  +  1
) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
3028, 29eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
31 cncff 20444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `  m ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `
 m ) ) : dom  f --> CC )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) ) : dom  f
--> CC )
33 fdm 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `  m ) ) : dom  f --> CC  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `  m ) )  =  dom  f )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) )  =  dom  f )
35 cnex 9355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  e.  _V
36 elpm2g 7221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( f : dom  f --> CC  /\  dom  f  C_  S ) ) )
3735, 19, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( f : dom  f --> CC  /\  dom  f  C_  S ) ) )
3815, 37mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f : dom  f
--> CC  /\  dom  f  C_  S ) )
3938simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  f  C_  S )
4026, 39sstrd 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  Dn f ) `  m )  C_  S
)
4118, 24, 40dvbss 21351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) )  C_  dom  ( ( S  Dn f ) `  m ) )
4234, 41eqsstr3d 3386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  f  C_  dom  (
( S  Dn
f ) `  m
) )
4326, 42eqssd 3368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  Dn f ) `  m )  =  dom  f )
4443feq2d 5542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( ( S  Dn f ) `
 m ) : dom  ( ( S  Dn f ) `
 m ) --> CC  <->  ( ( S  Dn
f ) `  m
) : dom  f --> CC ) )
4524, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  m ) : dom  f
--> CC )
46 dvcn 21370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( ( S  Dn f ) `  m ) : dom  f
--> CC  /\  dom  f  C_  S )  /\  dom  ( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) )  =  dom  f )  ->  (
( S  Dn
f ) `  m
)  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
4718, 45, 39, 34, 46syl31anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
4815, 47jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  /\  ( ( S  Dn f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )
4948ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )  ->  (
f  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  ( ( S  Dn f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
50 peano2nn0 10612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
5121, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( m  +  1 )  e.  NN0 )
52 elcpn 21383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
m  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( f  e.  ( ( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5317, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
54 elcpn 21383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
f  e.  ( ( C^n `  S
) `  m )  <->  ( f  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  ( ( S  Dn f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5517, 21, 54syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C^n `  S ) `  m
)  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5649, 53, 553imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  ->  f  e.  ( ( C^n `
 S ) `  m ) ) )
5756ssrdv 3357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( C^n `
 S ) `  ( m  +  1
) )  C_  (
( C^n `  S ) `  m
) )
58 sstr2 3358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C^n `  S
) `  m )  ->  ( ( ( C^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M )  ->  (
( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) )
5957, 58syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( ( C^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M )  ->  (
( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) )
6059expcom 435 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  m )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  ->  ( (
C^n `  S
) `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( ( C^n `  S ) `
 M ) ) ) )
6160a2d 26 . . . 4  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C^n `
 S ) `  m )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
) )  ->  (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C^n `
 S ) `  ( m  +  1
) )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
) ) ) )
623, 6, 9, 12, 14, 61uzind4 10904 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) )
6362com12 31 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (
( C^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) )
64633impia 1184 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
C^n `  S
) `  N )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   {cpr 3874   dom cdm 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    ^pm cpm 7207   CCcc 9272   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   -cn->ccncf 20427    _D cdv 21313    Dncdvn 21314   C^nccpn 21315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-dvn 21318  df-cpn 21319
This theorem is referenced by:  cpncn  21385  c1lip2  21445
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