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Theorem cpnord 21545
Description:  C^n conditions are ordered by strength. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnord  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
C^n `  S
) `  N )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )

Proof of Theorem cpnord
Dummy variables  f  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( C^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C^n `  S
) `  M )
)
21sseq1d 3494 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  n )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C^n `  S ) `
 M )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) ) )
32imbi2d 316 . . . 4  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  M
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) ) )
4 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( C^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C^n `  S
) `  m )
)
54sseq1d 3494 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  n )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) ) )
65imbi2d 316 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  m
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) ) )
7 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( C^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C^n `  S
) `  ( m  +  1 ) ) )
87sseq1d 3494 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  n )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C^n `  S ) `
 ( m  + 
1 ) )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) ) )
98imbi2d 316 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) ) )
10 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( C^n `  S ) `  n
)  =  ( ( C^n `  S
) `  N )
)
1110sseq1d 3494 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  n )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  <->  ( ( C^n `  S ) `
 N )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) ) )
1211imbi2d 316 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( C^n `  S ) `
 n )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )  <->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) ) )
13 ssid 3486 . . . . 5  |-  ( ( C^n `  S
) `  M )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M )
1413a1ii 27 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C^n `
 S ) `  M )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
) ) )
15 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
f  e.  ( CC 
^pm  S ) )
16 recnprss 21515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  S  C_  CC )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  S  C_  CC )
19 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
20 eluznn0 11038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  m  e.  NN0 )
2120adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  m  e.  NN0 )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
23 dvnf 21537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn f ) `
 m ) : dom  ( ( S  Dn f ) `
 m ) --> CC )
2419, 15, 22, 23syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  m ) : dom  ( ( S  Dn f ) `  m ) --> CC )
25 dvnbss 21538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  Dn f ) `  m ) 
C_  dom  f )
2619, 15, 22, 25syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  Dn f ) `  m )  C_  dom  f )
27 dvnp1 21535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  C_  CC  /\  f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) ) )
2818, 15, 22, 27syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  ( m  +  1
) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `  m ) ) )
29 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  ( m  +  1
) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
3028, 29eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
31 cncff 20604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `  m ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `
 m ) ) : dom  f --> CC )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) ) : dom  f
--> CC )
33 fdm 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `  m ) ) : dom  f --> CC  ->  dom  ( S  _D  ( ( S  Dn f ) `  m ) )  =  dom  f )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) )  =  dom  f )
35 cnex 9477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  e.  _V
36 elpm2g 7342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( f : dom  f --> CC  /\  dom  f  C_  S ) ) )
3735, 19, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( f : dom  f --> CC  /\  dom  f  C_  S ) ) )
3815, 37mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f : dom  f
--> CC  /\  dom  f  C_  S ) )
3938simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  f  C_  S )
4026, 39sstrd 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  Dn f ) `  m )  C_  S
)
4118, 24, 40dvbss 21512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) )  C_  dom  ( ( S  Dn f ) `  m ) )
4234, 41eqsstr3d 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  f  C_  dom  (
( S  Dn
f ) `  m
) )
4326, 42eqssd 3484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  ->  dom  ( ( S  Dn f ) `  m )  =  dom  f )
4443feq2d 5658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( ( S  Dn f ) `
 m ) : dom  ( ( S  Dn f ) `
 m ) --> CC  <->  ( ( S  Dn
f ) `  m
) : dom  f --> CC ) )
4524, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  m ) : dom  f
--> CC )
46 dvcn 21531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  ( ( S  Dn f ) `  m ) : dom  f
--> CC  /\  dom  f  C_  S )  /\  dom  ( S  _D  (
( S  Dn
f ) `  m
) )  =  dom  f )  ->  (
( S  Dn
f ) `  m
)  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
4718, 45, 39, 34, 46syl31anc 1222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( ( S  Dn f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )
4815, 47jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  M ) )  /\  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )  -> 
( f  e.  ( CC  ^pm  S )  /\  ( ( S  Dn f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) )
4948ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) )  ->  (
f  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  ( ( S  Dn f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
50 peano2nn0 10734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
5121, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( m  +  1 )  e.  NN0 )
52 elcpn 21544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
m  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( f  e.  ( ( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5317, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 ( m  + 
1 ) )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
54 elcpn 21544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
f  e.  ( ( C^n `  S
) `  m )  <->  ( f  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  ( ( S  Dn f ) `  m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5517, 21, 54syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C^n `  S ) `  m
)  <->  ( f  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( ( S  Dn f ) `
 m )  e.  ( dom  f -cn-> CC ) ) ) )
5649, 53, 553imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( f  e.  ( ( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  ->  f  e.  ( ( C^n `
 S ) `  m ) ) )
5756ssrdv 3473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( C^n `
 S ) `  ( m  +  1
) )  C_  (
( C^n `  S ) `  m
) )
58 sstr2 3474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C^n `  S
) `  m )  ->  ( ( ( C^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M )  ->  (
( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) )
5957, 58syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( ( C^n `  S ) `
 m )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M )  ->  (
( C^n `  S ) `  (
m  +  1 ) )  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) )
6059expcom 435 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( ( C^n `
 S ) `  m )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
)  ->  ( (
C^n `  S
) `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( ( C^n `  S ) `
 M ) ) ) )
6160a2d 26 . . . 4  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C^n `
 S ) `  m )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
) )  ->  (
( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( C^n `
 S ) `  ( m  +  1
) )  C_  (
( C^n `  S ) `  M
) ) ) )
623, 6, 9, 12, 14, 61uzind4 11026 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( C^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) )
6362com12 31 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (
( C^n `  S ) `  N
)  C_  ( (
C^n `  S
) `  M )
) )
64633impia 1185 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
C^n `  S
) `  N )  C_  ( ( C^n `
 S ) `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   {cpr 3990   dom cdm 4951   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^pm cpm 7328   CCcc 9394   RRcr 9395   1c1 9397    + caddc 9399   NN0cn0 10693   ZZcz 10760   ZZ>=cuz 10975   -cn->ccncf 20587    _D cdv 21474    Dncdvn 21475   C^nccpn 21476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-lp 18875  df-perf 18876  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cncf 20589  df-limc 21477  df-dv 21478  df-dvn 21479  df-cpn 21480
This theorem is referenced by:  cpncn  21546  c1lip2  21606
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