MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnnen Structured version   Unicode version

Theorem cpnnen 13516
Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
cpnnen  |-  CC  ~~  ~P NN

Proof of Theorem cpnnen
Dummy variables  w  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexpen 13515 . . 3  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  RR
2 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
v  e.  RR  <->  x  e.  RR ) )
3 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  RR  <->  y  e.  RR ) )
42, 3bi2anan9 868 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  <->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
5 oveq2 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  y ) )
6 oveq12 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  x  /\  ( _i  x.  w
)  =  ( _i  x.  y ) )  ->  ( v  +  ( _i  x.  w
) )  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
75, 6sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( v  +  ( _i  x.  w ) )  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
87eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) )  <-> 
z  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
94, 8anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( ( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w
) ) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  =  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) ) )
109cbvoprab12v 6166 . . . . . 6  |-  { <. <.
v ,  w >. ,  z >.  |  (
( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) ) }
11 df-mpt2 6101 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  z  =  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) ) }
1210, 11eqtr4i 2466 . . . . 5  |-  { <. <.
v ,  w >. ,  z >.  |  (
( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) }  =  ( x  e.  RR , 
y  e.  RR  |->  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
1312cnref1o 10991 . . . 4  |-  { <. <.
v ,  w >. ,  z >.  |  (
( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) } : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC
14 reex 9378 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
1514, 14xpex 6513 . . . . 5  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
1615f1oen 7335 . . . 4  |-  ( {
<. <. v ,  w >. ,  z >.  |  ( ( v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  /\  z  =  ( v  +  ( _i  x.  w ) ) ) } : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC 
->  ( RR  X.  RR )  ~~  CC )
1713, 16ax-mp 5 . . 3  |-  ( RR 
X.  RR )  ~~  CC
181, 17entr3i 7370 . 2  |-  RR  ~~  CC
19 rpnnen 13514 . 2  |-  RR  ~~  ~P NN
2018, 19entr3i 7370 1  |-  CC  ~~  ~P NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ~Pcpw 3865   class class class wbr 4297    X. cxp 4843   -1-1-onto->wf1o 5422  (class class class)co 6096   {coprab 6097    e. cmpt2 6098    ~~ cen 7312   CCcc 9285   RRcr 9286   _ici 9289    + caddc 9290    x. cmul 9292   NNcn 10327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169
This theorem is referenced by:  cnso  13534
  Copyright terms: Public domain W3C validator