MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmatsubgpmat Structured version   Unicode version

Theorem cpmatsubgpmat 19028
Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring  R is an additive subgroup of the ring of all polynomial matrices over the ring  R. (Contributed by AV, 15-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
cpmatsrngpmat.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cpmatsrngpmat.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
Assertion
Ref Expression
cpmatsubgpmat  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  e.  (SubGrp `  C
) )

Proof of Theorem cpmatsubgpmat
Dummy variables  i 
j  x  y  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmatsrngpmat.s . . . 4  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
2 cpmatsrngpmat.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 cpmatsrngpmat.c . . . 4  |-  C  =  ( N Mat  P )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
51, 2, 3, 4cpmat 19017 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  =  { m  e.  ( Base `  C
)  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. k  e.  NN  ( (coe1 `  (
i m j ) ) `  k )  =  ( 0g `  R ) } )
6 ssrab2 3585 . . 3  |-  { m  e.  ( Base `  C
)  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. k  e.  NN  ( (coe1 `  (
i m j ) ) `  k )  =  ( 0g `  R ) }  C_  ( Base `  C )
75, 6syl6eqss 3554 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  C_  ( Base `  C
) )
81, 2, 31elcpmat 19023 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  C
)  e.  S )
9 ne0i 3791 . . 3  |-  ( ( 1r `  C )  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  =/=  (/) )
111, 2, 3cpmatacl 19024 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  C ) y )  e.  S )
121, 2, 3cpmatinvcl 19025 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  S  ( ( invg `  C ) `  x
)  e.  S )
13 r19.26 2989 . . 3  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  C ) y )  e.  S  /\  (
( invg `  C ) `  x
)  e.  S )  <-> 
( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  C ) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( ( invg `  C ) `  x
)  e.  S ) )
1411, 12, 13sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  C ) y )  e.  S  /\  (
( invg `  C ) `  x
)  e.  S ) )
152ply1rng 18100 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
163matrng 18752 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
1715, 16sylan2 474 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
18 rnggrp 17017 . . 3  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. 
Grp )
19 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  C )  =  ( +g  `  C )
20 eqid 2467 . . . 4  |-  ( invg `  C )  =  ( invg `  C )
214, 19, 20issubg2 16030 . . 3  |-  ( C  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  C
)  <->  ( S  C_  ( Base `  C )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  C ) y )  e.  S  /\  (
( invg `  C ) `  x
)  e.  S ) ) ) )
2217, 18, 213syl 20 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( S  e.  (SubGrp `  C )  <->  ( S  C_  ( Base `  C
)  /\  S  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  C ) y )  e.  S  /\  (
( invg `  C ) `  x
)  e.  S ) ) ) )
237, 10, 14, 22mpbir3and 1179 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  e.  (SubGrp `  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   NNcn 10537   Basecbs 14493   +g cplusg 14558   0gc0g 14698   Grpcgrp 15730   invgcminusg 15731  SubGrpcsubg 16009   1rcur 16967   Ringcrg 17012  Poly1cpl1 18027  coe1cco1 18028   Mat cmat 18716   ConstPolyMat ccpmat 19011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-hash 12375  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-srg 16972  df-rng 17014  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-ascl 17774  df-psr 17816  df-mvr 17817  df-mpl 17818  df-opsr 17820  df-psr1 18030  df-vr1 18031  df-ply1 18032  df-coe1 18033  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-mamu 18693  df-mat 18717  df-cpmat 19014
This theorem is referenced by:  cpmatsrgpmat  19029  0elcpmat  19030  m2cpmghm  19052  m2cpmrngiso  19066  chfacfisfcpmat  19163
  Copyright terms: Public domain W3C validator