Theorem cpmatmcllem 18986

Description: Lemma for cpmatmcl 18987. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	|- S = ( N ConstPolyMat R )
cpmatsrngpmat.p	|- P = (Poly1 ` R )
cpmatsrngpmat.c	|- C = ( N Mat P )

Assertion

Ref	Expression
cpmatmcllem	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )

Distinct variable groups:   C, i, j   i, N, j   R, i, j   C, c   N, c, x, y, i, j   P, c   R, c, x, y   y, S   C, k   k, N, c, i, j, x, y   P, k   R, k

Allowed substitution hints:   C( x, y)   P( x, y, i, j)   S( x, i, j, k, c)

Proof of Theorem cpmatmcllem

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmatsrngpmat.s	. . . 4 |- S = ( N ConstPolyMat R )
2		cpmatsrngpmat.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
3		cpmatsrngpmat.c	. . . 4 |- C = ( N Mat P )
4		eqid 2467	. . . 4 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
5	1, 2, 3, 4	cpmatelimp 18980	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
6	1, 2, 3, 4	cpmatelimp 18980	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( y e. S -> ( y e. ( Base ` C ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
7	6	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. S -> ( y e. ( Base ` C ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
8		ralcom 3022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> A. j e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
9		r19.26-2 2990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. l e. N A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
10		ralcom 3022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. l e. N A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
11	9, 10	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
12		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/ c ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) )
13		nfra1 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/ c A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
14	12, 13	nfan 1875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/ c ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
15		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> R e. Ring )
16		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
17		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> i e. N )
18		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> k e. N )
19		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> x e. ( Base ` C ) )
21	3, 16, 4, 17, 18, 20	matecld 18695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( i x k ) e. ( Base ` P ) )
22		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> j e. N )
23		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> y e. ( Base ` C ) )
25	3, 16, 4, 18, 22, 24	matecld 18695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( k y j ) e. ( Base ` P ) )
26	15, 21, 25	jca32 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( R e. Ring /\ ( ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) ) )
27	26	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) -> ( R e. Ring /\ ( ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) ) )
28		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( l = k -> ( i x l ) = ( i x k ) )
29	28	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( l = k -> (coe1 ` ( i x l ) ) = (coe1 ` ( i x k ) ) )
30	29	fveq1d 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( l = k -> ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) )
31	30	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( l = k -> ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
32		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( l = k -> ( l y j ) = ( k y j ) )
33	32	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( l = k -> (coe1 ` ( l y j ) ) = (coe1 ` ( k y j ) ) )
34	33	fveq1d 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( l = k -> ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) )
35	34	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( l = k -> ( ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
36	31, 35	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( l = k -> ( ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
37	36	rspcva 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( k e. N /\ A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> ( ( k e. N /\ A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
39	38	exp4b 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( c e. NN -> ( k e. N -> ( A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
40	39	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( k e. N -> ( c e. NN -> ( A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
41	40	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) /\ c e. NN ) -> ( A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
42	41	ralimdva 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
43	42	impancom 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( k e. N -> A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
44	43	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) -> A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
45		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
46		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
47	2, 16, 45, 46	cply1mul 18106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) ) -> ( A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
48	27, 44, 47	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
49	48	r19.21bi 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) /\ c e. NN ) -> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
50	49	an32s 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) /\ k e. N ) -> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
51	50	mpteq2dva 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) = ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
52	51	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) )
53		rngmnd 16995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
54	53	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( N e. Fin /\ R e. Mnd ) )
55	54	ancomd 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R e. Mnd /\ N e. Fin ) )
56	45	gsumz 15824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( R e. Mnd /\ N e. Fin ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
58	57	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
59	52, 58	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) )
60	59	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( c e. NN -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
61	14, 60	ralrimi 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> A. c e. NN ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) )
62		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> R e. Ring )
63		nnnn0 10798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( c e. NN -> c e. NN0 )
64	63	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> c e. NN0 )
65	2	ply1rng 18060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
66	65	ad4antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> P e. Ring )
67	16, 46	rngcl 16999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( P e. Ring /\ ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) -> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
68	66, 21, 25, 67	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
69	68	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> A. k e. N ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
70	69	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> A. k e. N ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
71		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> N e. Fin )
72	2, 16, 62, 64, 70, 71	coe1fzgsumd 18115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) )
73	72	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
74	73	ralbidva 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> A. c e. NN ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
75	74	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> A. c e. NN ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
76	61, 75	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
77	76	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
78	11, 77	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
79	78	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
80	79	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( j e. N -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
81	80	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( j e. N -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
82	81	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) /\ j e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
83	82	ralimdva 2872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. j e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
84	8, 83	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
85	84	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
86	85	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
87	86	impancom 440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( i e. N -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
88	87	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
89	88	ralimdva 2872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
90	89	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
91	90	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. ( Base ` C ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
92	91	impd 431	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( y e. ( Base ` C ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
93	7, 92	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. S -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
94	93	com23 78	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
95	94	ex 434	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. ( Base ` C ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
96	95	impd 431	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
97	5, 96	syld 44	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
98	97	imp32 433	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   NNcn 10532   NN0cn0 10791   Basecbs 14486   .rcmulr 14552   0gc0g 14691   gsum_g cgsu 14692   Mndcmnd 15722   Ringcrg 16986  Poly₁cpl1 17987  coe₁cco1 17988   Mat cmat 18676   ConstPolyMat ccpmat 18971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-prds 14699  df-pws 14701  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-subrg 17210  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-psr 17776  df-mpl 17778  df-opsr 17780  df-psr1 17990  df-ply1 17992  df-coe1 17993  df-dsmm 18530  df-frlm 18545  df-mat 18677  df-cpmat 18974

This theorem is referenced by:  cpmatmcl  18987