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Theorem cpmatmcllem 19403
Description: Lemma for cpmatmcl 19404. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
cpmatsrngpmat.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cpmatsrngpmat.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
Assertion
Ref Expression
cpmatmcllem  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) )
Distinct variable groups:    C, i,
j    i, N, j    R, i, j    C, c    N, c, x, y, i, j    P, c    R, c, x, y    y, S    C, k    k, N, c, i, j, x, y    P, k    R, k
Allowed substitution hints:    C( x, y)    P( x, y, i, j)    S( x, i, j, k, c)

Proof of Theorem cpmatmcllem
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmatsrngpmat.s . . . 4  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
2 cpmatsrngpmat.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 cpmatsrngpmat.c . . . 4  |-  C  =  ( N Mat  P )
4 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
51, 2, 3, 4cpmatelimp 19397 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
61, 2, 3, 4cpmatelimp 19397 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  S  ->  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
76adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( y  e.  S  ->  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
8 ralcom 2967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  <->  A. j  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
9 r19.26-2 2934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
10 ralcom 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
119, 10bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
12 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/ c ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )
13 nfra1 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/ c A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
1412, 13nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/ c ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
15 simp-4r 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
16 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
17 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  i  e.  N )
18 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
19 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
2019adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
213, 16, 4, 17, 18, 20matecld 19112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
i x k )  e.  ( Base `  P
) )
22 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  j  e.  N )
23 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
2423adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
253, 16, 4, 18, 22, 24matecld 19112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
k y j )  e.  ( Base `  P
) )
2615, 21, 25jca32 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  ( R  e.  Ring  /\  (
( i x k )  e.  ( Base `  P )  /\  (
k y j )  e.  ( Base `  P
) ) ) )
2726adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( (
i x k )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( k
y j )  e.  ( Base `  P
) ) ) )
28 oveq2 6242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( l  =  k  ->  (
i x l )  =  ( i x k ) )
2928fveq2d 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( l  =  k  ->  (coe1 `  ( i x l ) )  =  (coe1 `  ( i x k ) ) )
3029fveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( l  =  k  ->  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c ) )
3130eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( l  =  k  ->  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  <-> 
( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
32 oveq1 6241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( l  =  k  ->  (
l y j )  =  ( k y j ) )
3332fveq2d 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( l  =  k  ->  (coe1 `  ( l y j ) )  =  (coe1 `  ( k y j ) ) )
3433fveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( l  =  k  ->  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c ) )
3534eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( l  =  k  ->  (
( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  <-> 
( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
3631, 35anbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3736rspcva 3157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( k  e.  N  /\  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  (
( k  e.  N  /\  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3938exp4b 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( c  e.  NN  ->  ( k  e.  N  ->  ( A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( (coe1 `  (
i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
4039com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( k  e.  N  ->  ( c  e.  NN  ->  ( A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
(coe1 `  ( i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
4140imp31 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  /\  c  e.  NN )  ->  ( A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( (coe1 `  (
i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4241ralimdva 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  ( A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  (
i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4342impancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( k  e.  N  ->  A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4443imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
45 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
46 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
472, 16, 45, 46cply1mul 18547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i x k )  e.  ( Base `  P )  /\  (
k y j )  e.  ( Base `  P
) ) )  -> 
( A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
4827, 44, 47sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
4948r19.21bi 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  c  e.  NN )  ->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) )
5049an32s 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  /\  k  e.  N
)  ->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) )
5150mpteq2dva 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) ) )
5251oveq2d 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g `  R
) ) ) )
53 ringmnd 17419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
5453anim2i 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Mnd )
)
5554ancomd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )
)
5645gsumz 16221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
5857ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
5952, 58eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
6059ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( c  e.  NN  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
6114, 60ralrimi 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  A. c  e.  NN  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
62 simp-4r 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  R  e.  Ring )
63 nnnn0 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  NN0 )
6463adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  c  e.  NN0 )
652ply1ring 18501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
6665ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  P  e.  Ring )
6716, 46ringcl 17424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
i x k )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( k
y j )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
6866, 21, 25, 67syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
6968ralrimiva 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  A. k  e.  N  ( (
i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
7069adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  A. k  e.  N  ( (
i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
71 simp-4l 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  N  e.  Fin )
722, 16, 62, 64, 70, 71coe1fzgsumd 18556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) ) )
7372eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  (
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7473ralbidva 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  <->  A. c  e.  NN  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
) ) )  =  ( 0g `  R
) ) )
7574adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
)  <->  A. c  e.  NN  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7661, 75mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) )
7776ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
7811, 77syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
7978expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
8079expr 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  (
j  e.  N  -> 
( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
8180com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( j  e.  N  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
8281imp31 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  i  e.  N
)  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  /\  j  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) )
8382ralimdva 2811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  i  e.  N )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. j  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
848, 83syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  i  e.  N )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
8584ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
8685com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
8786impancom 438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( i  e.  N  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
8887imp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
8988ralimdva 2811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
9089ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
9190expr 613 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( y  e.  ( Base `  C
)  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) ) )
9291impd 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( ( y  e.  ( Base `  C
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l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
937, 92syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( y  e.  S  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
9493com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  (
y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
9594ex 432 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  (
Base `  C )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  (
y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
9695impd 429 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
975, 96syld 42 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  ( y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
9897imp32 431 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    |-> cmpt 4452   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Fincfn 7474   NNcn 10496   NN0cn0 10756   Basecbs 14733   .rcmulr 14802   0gc0g 14946    gsumg cgsu 14947   Mndcmnd 16135   Ringcrg 17410  Poly1cpl1 18428  coe1cco1 18429   Mat cmat 19093   ConstPolyMat ccpmat 19388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-ofr 6478  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-hash 12360  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-hom 14825  df-cco 14826  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-prds 14954  df-pws 14956  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-mulg 16276  df-subg 16414  df-ghm 16481  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-subrg 17639  df-sra 18030  df-rgmod 18031  df-psr 18217  df-mpl 18219  df-opsr 18221  df-psr1 18431  df-ply1 18433  df-coe1 18434  df-dsmm 18953  df-frlm 18968  df-mat 19094  df-cpmat 19391
This theorem is referenced by:  cpmatmcl  19404
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