Theorem cpmatmcllem 19345

Description: Lemma for cpmatmcl 19346. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	|- S = ( N ConstPolyMat R )
cpmatsrngpmat.p	|- P = (Poly1 ` R )
cpmatsrngpmat.c	|- C = ( N Mat P )

Assertion

Ref	Expression
cpmatmcllem	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )

Distinct variable groups:   C, i, j   i, N, j   R, i, j   C, c   N, c, x, y, i, j   P, c   R, c, x, y   y, S   C, k   k, N, c, i, j, x, y   P, k   R, k

Allowed substitution hints:   C( x, y)   P( x, y, i, j)   S( x, i, j, k, c)

Proof of Theorem cpmatmcllem

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmatsrngpmat.s	. . . 4 |- S = ( N ConstPolyMat R )
2		cpmatsrngpmat.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
3		cpmatsrngpmat.c	. . . 4 |- C = ( N Mat P )
4		eqid 2457	. . . 4 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
5	1, 2, 3, 4	cpmatelimp 19339	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
6	1, 2, 3, 4	cpmatelimp 19339	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( y e. S -> ( y e. ( Base ` C ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
7	6	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. S -> ( y e. ( Base ` C ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
8		ralcom 3018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> A. j e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
9		r19.26-2 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. l e. N A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
10		ralcom 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. l e. N A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
11	9, 10	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
12		nfv 1708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/ c ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) )
13		nfra1 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/ c A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
14	12, 13	nfan 1929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/ c ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
15		simp-4r 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> R e. Ring )
16		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
17		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> i e. N )
18		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> k e. N )
19		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> x e. ( Base ` C ) )
21	3, 16, 4, 17, 18, 20	matecld 19054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( i x k ) e. ( Base ` P ) )
22		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> j e. N )
23		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> y e. ( Base ` C ) )
25	3, 16, 4, 18, 22, 24	matecld 19054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( k y j ) e. ( Base ` P ) )
26	15, 21, 25	jca32 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( R e. Ring /\ ( ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) ) )
27	26	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) -> ( R e. Ring /\ ( ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) ) )
28		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( l = k -> ( i x l ) = ( i x k ) )
29	28	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( l = k -> (coe1 ` ( i x l ) ) = (coe1 ` ( i x k ) ) )
30	29	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( l = k -> ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) )
31	30	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( l = k -> ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
32		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( l = k -> ( l y j ) = ( k y j ) )
33	32	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( l = k -> (coe1 ` ( l y j ) ) = (coe1 ` ( k y j ) ) )
34	33	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( l = k -> ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) )
35	34	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( l = k -> ( ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
36	31, 35	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( l = k -> ( ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
37	36	rspcva 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( k e. N /\ A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> ( ( k e. N /\ A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
39	38	exp4b 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( c e. NN -> ( k e. N -> ( A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
40	39	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( k e. N -> ( c e. NN -> ( A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
41	40	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) /\ c e. NN ) -> ( A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
42	41	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
43	42	impancom 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( k e. N -> A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
44	43	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) -> A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
45		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
46		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
47	2, 16, 45, 46	cply1mul 18461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) ) -> ( A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
48	27, 44, 47	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
49	48	r19.21bi 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) /\ c e. NN ) -> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
50	49	an32s 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) /\ k e. N ) -> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
51	50	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) = ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
52	51	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) )
53		ringmnd 17333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
54	53	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( N e. Fin /\ R e. Mnd ) )
55	54	ancomd 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R e. Mnd /\ N e. Fin ) )
56	45	gsumz 16131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( R e. Mnd /\ N e. Fin ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
58	57	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
59	52, 58	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) )
60	59	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( c e. NN -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
61	14, 60	ralrimi 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> A. c e. NN ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) )
62		simp-4r 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> R e. Ring )
63		nnnn0 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( c e. NN -> c e. NN0 )
64	63	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> c e. NN0 )
65	2	ply1ring 18415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
66	65	ad4antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> P e. Ring )
67	16, 46	ringcl 17338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( P e. Ring /\ ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) -> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
68	66, 21, 25, 67	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
69	68	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> A. k e. N ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
70	69	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> A. k e. N ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
71		simp-4l 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> N e. Fin )
72	2, 16, 62, 64, 70, 71	coe1fzgsumd 18470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) )
73	72	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
74	73	ralbidva 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> A. c e. NN ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
75	74	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> A. c e. NN ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
76	61, 75	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
77	76	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
78	11, 77	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
79	78	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
80	79	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( j e. N -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
81	80	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( j e. N -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
82	81	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) /\ j e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
83	82	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. j e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
84	8, 83	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
85	84	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
86	85	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
87	86	impancom 440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( i e. N -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
88	87	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
89	88	ralimdva 2865	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
90	89	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
91	90	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. ( Base ` C ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
92	91	impd 431	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( y e. ( Base ` C ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
93	7, 92	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. S -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
94	93	com23 78	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
95	94	ex 434	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. ( Base ` C ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
96	95	impd 431	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
97	5, 96	syld 44	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
98	97	imp32 433	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   NNcn 10556   NN0cn0 10816   Basecbs 14643   .rcmulr 14712   0gc0g 14856   gsum_g cgsu 14857   Mndcmnd 16045   Ringcrg 17324  Poly₁cpl1 18342  coe₁cco1 18343   Mat cmat 19035   ConstPolyMat ccpmat 19330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-hom 14735  df-cco 14736  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-prds 14864  df-pws 14866  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-subrg 17553  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-psr 18131  df-mpl 18133  df-opsr 18135  df-psr1 18345  df-ply1 18347  df-coe1 18348  df-dsmm 18889  df-frlm 18904  df-mat 19036  df-cpmat 19333

This theorem is referenced by:  cpmatmcl  19346