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Theorem cpmatmcllem 19819
Description: Lemma for cpmatmcl 19820. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
cpmatsrngpmat.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cpmatsrngpmat.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
Assertion
Ref Expression
cpmatmcllem  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) )
Distinct variable groups:    C, i,
j    i, N, j    R, i, j    C, c    N, c, x, y, i, j    P, c    R, c, x, y    y, S    C, k    k, N, c, i, j, x, y    P, k    R, k
Allowed substitution hints:    C( x, y)    P( x, y, i, j)    S( x, i, j, k, c)

Proof of Theorem cpmatmcllem
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmatsrngpmat.s . . . 4  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
2 cpmatsrngpmat.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 cpmatsrngpmat.c . . . 4  |-  C  =  ( N Mat  P )
4 eqid 2471 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
51, 2, 3, 4cpmatelimp 19813 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
61, 2, 3, 4cpmatelimp 19813 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  S  ->  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
76adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( y  e.  S  ->  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
8 ralcom 2937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  <->  A. j  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
9 r19.26-2 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
10 ralcom 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
119, 10bitr3i 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
12 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/ c ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )
13 nfra1 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/ c A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
1412, 13nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/ c ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
15 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
16 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
17 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  i  e.  N )
18 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
19 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
213, 16, 4, 17, 18, 20matecld 19528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
i x k )  e.  ( Base `  P
) )
22 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  j  e.  N )
23 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
2423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
253, 16, 4, 18, 22, 24matecld 19528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
k y j )  e.  ( Base `  P
) )
2615, 21, 25jca32 544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  ( R  e.  Ring  /\  (
( i x k )  e.  ( Base `  P )  /\  (
k y j )  e.  ( Base `  P
) ) ) )
2726adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( (
i x k )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( k
y j )  e.  ( Base `  P
) ) ) )
28 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( l  =  k  ->  (
i x l )  =  ( i x k ) )
2928fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( l  =  k  ->  (coe1 `  ( i x l ) )  =  (coe1 `  ( i x k ) ) )
3029fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( l  =  k  ->  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c ) )
3130eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( l  =  k  ->  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  <-> 
( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
32 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( l  =  k  ->  (
l y j )  =  ( k y j ) )
3332fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( l  =  k  ->  (coe1 `  ( l y j ) )  =  (coe1 `  ( k y j ) ) )
3433fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( l  =  k  ->  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c ) )
3534eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( l  =  k  ->  (
( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  <-> 
( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
3631, 35anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3736rspcva 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( k  e.  N  /\  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  (
( k  e.  N  /\  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3938exp4b 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( c  e.  NN  ->  ( k  e.  N  ->  ( A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( (coe1 `  (
i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
4039com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( k  e.  N  ->  ( c  e.  NN  ->  ( A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
(coe1 `  ( i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
4140imp31 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  /\  c  e.  NN )  ->  ( A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( (coe1 `  (
i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4241ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  ( A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  (
i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4342impancom 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( k  e.  N  ->  A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4443imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
45 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
46 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
472, 16, 45, 46cply1mul 18964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i x k )  e.  ( Base `  P )  /\  (
k y j )  e.  ( Base `  P
) ) )  -> 
( A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
4827, 44, 47sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
4948r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  c  e.  NN )  ->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) )
5049an32s 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  /\  k  e.  N
)  ->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) )
5150mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) ) )
5251oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g `  R
) ) ) )
53 ringmnd 17867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
5453anim2i 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Mnd )
)
5554ancomd 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )
)
5645gsumz 16699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
5857ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
5952, 58eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
6059ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( c  e.  NN  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
6114, 60ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  A. c  e.  NN  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
62 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  R  e.  Ring )
63 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  NN0 )
6463adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  c  e.  NN0 )
652ply1ring 18918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
6665ad4antlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  P  e.  Ring )
6716, 46ringcl 17872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
i x k )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( k
y j )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
6866, 21, 25, 67syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
6968ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  A. k  e.  N  ( (
i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
7069adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  A. k  e.  N  ( (
i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
71 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  N  e.  Fin )
722, 16, 62, 64, 70, 71coe1fzgsumd 18973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) ) )
7372eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  (
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7473ralbidva 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  <->  A. c  e.  NN  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
) ) )  =  ( 0g `  R
) ) )
7574adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
)  <->  A. c  e.  NN  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7661, 75mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) )
7776ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
7811, 77syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
7978expd 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
8079expr 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  (
j  e.  N  -> 
( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
8180com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( j  e.  N  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
8281imp31 439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  i  e.  N
)  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  /\  j  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) )
8382ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  i  e.  N )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. j  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
848, 83syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  i  e.  N )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
8584ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
8685com23 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
8786impancom 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( i  e.  N  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
8887imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
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`  R ) ) )
8988ralimdva 2805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
9089ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
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i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
9190expr 626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( y  e.  ( Base `  C
)  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) ) )
9291impd 438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( ( y  e.  ( Base `  C
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l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
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) ) ) )
937, 92syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( y  e.  S  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
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`  R ) ) ) )
9493com23 80 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  (
y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
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`  R ) ) ) )
9594ex 441 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  (
Base `  C )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  (
y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
9695impd 438 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
975, 96syld 44 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  ( y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
9897imp32 440 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   NNcn 10631   NN0cn0 10893   Basecbs 15199   .rcmulr 15269   0gc0g 15416    gsumg cgsu 15417   Mndcmnd 16613   Ringcrg 17858  Poly1cpl1 18847  coe1cco1 18848   Mat cmat 19509   ConstPolyMat ccpmat 19804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-subrg 18084  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psr 18657  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-psr1 18850  df-ply1 18852  df-coe1 18853  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mat 19510  df-cpmat 19807
This theorem is referenced by:  cpmatmcl  19820
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