Theorem cpmatmcllem 19677

Description: Lemma for cpmatmcl 19678. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	|- S = ( N ConstPolyMat R )
cpmatsrngpmat.p	|- P = (Poly1 ` R )
cpmatsrngpmat.c	|- C = ( N Mat P )

Assertion

Ref	Expression
cpmatmcllem	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )

Distinct variable groups:   C, i, j   i, N, j   R, i, j   C, c   N, c, x, y, i, j   P, c   R, c, x, y   y, S   C, k   k, N, c, i, j, x, y   P, k   R, k

Allowed substitution hints:   C( x, y)   P( x, y, i, j)   S( x, i, j, k, c)

Proof of Theorem cpmatmcllem

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmatsrngpmat.s	. . . 4 |- S = ( N ConstPolyMat R )
2		cpmatsrngpmat.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
3		cpmatsrngpmat.c	. . . 4 |- C = ( N Mat P )
4		eqid 2422	. . . 4 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
5	1, 2, 3, 4	cpmatelimp 19671	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
6	1, 2, 3, 4	cpmatelimp 19671	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( y e. S -> ( y e. ( Base ` C ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
7	6	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. S -> ( y e. ( Base ` C ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
8		ralcom 2922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> A. j e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
9		r19.26-2 2889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. l e. N A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
10		ralcom 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. l e. N A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
11	9, 10	bitr3i 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
12		nfv 1755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/ c ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) )
13		nfra1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/ c A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
14	12, 13	nfan 1988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/ c ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
15		simp-4r 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> R e. Ring )
16		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
17		simplrl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> i e. N )
18		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> k e. N )
19		simplrl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
20	19	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> x e. ( Base ` C ) )
21	3, 16, 4, 17, 18, 20	matecld 19386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( i x k ) e. ( Base ` P ) )
22		simplrr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> j e. N )
23		simplrr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
24	23	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> y e. ( Base ` C ) )
25	3, 16, 4, 18, 22, 24	matecld 19386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( k y j ) e. ( Base ` P ) )
26	15, 21, 25	jca32 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( R e. Ring /\ ( ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) ) )
27	26	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) -> ( R e. Ring /\ ( ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) ) )
28		oveq2 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( l = k -> ( i x l ) = ( i x k ) )
29	28	fveq2d 5822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( l = k -> (coe1 ` ( i x l ) ) = (coe1 ` ( i x k ) ) )
30	29	fveq1d 5820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( l = k -> ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) )
31	30	eqeq1d 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( l = k -> ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
32		oveq1 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( l = k -> ( l y j ) = ( k y j ) )
33	32	fveq2d 5822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( l = k -> (coe1 ` ( l y j ) ) = (coe1 ` ( k y j ) ) )
34	33	fveq1d 5820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( l = k -> ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) )
35	34	eqeq1d 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( l = k -> ( ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
36	31, 35	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( l = k -> ( ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
37	36	rspcva 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( k e. N /\ A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> ( ( k e. N /\ A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
39	38	exp4b 610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( c e. NN -> ( k e. N -> ( A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
40	39	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( k e. N -> ( c e. NN -> ( A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
41	40	imp31 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) /\ c e. NN ) -> ( A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
42	41	ralimdva 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
43	42	impancom 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( k e. N -> A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
44	43	imp 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) -> A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
45		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
46		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
47	2, 16, 45, 46	cply1mul 18823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) ) -> ( A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
48	27, 44, 47	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
49	48	r19.21bi 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) /\ c e. NN ) -> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
50	49	an32s 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) /\ k e. N ) -> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
51	50	mpteq2dva 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) = ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
52	51	oveq2d 6258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) )
53		ringmnd 17725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
54	53	anim2i 571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( N e. Fin /\ R e. Mnd ) )
55	54	ancomd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R e. Mnd /\ N e. Fin ) )
56	45	gsumz 16557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( R e. Mnd /\ N e. Fin ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
58	57	ad4antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
59	52, 58	eqtrd 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) )
60	59	ex 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( c e. NN -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
61	14, 60	ralrimi 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> A. c e. NN ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) )
62		simp-4r 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> R e. Ring )
63		nnnn0 10820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( c e. NN -> c e. NN0 )
64	63	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> c e. NN0 )
65	2	ply1ring 18777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
66	65	ad4antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> P e. Ring )
67	16, 46	ringcl 17730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( P e. Ring /\ ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) -> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
68	66, 21, 25, 67	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
69	68	ralrimiva 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> A. k e. N ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
70	69	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> A. k e. N ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
71		simp-4l 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> N e. Fin )
72	2, 16, 62, 64, 70, 71	coe1fzgsumd 18832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) )
73	72	eqeq1d 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
74	73	ralbidva 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> A. c e. NN ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
75	74	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> A. c e. NN ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
76	61, 75	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
77	76	ex 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
78	11, 77	syl5bi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
79	78	expd 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
80	79	expr 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( j e. N -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
81	80	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( j e. N -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
82	81	imp31 433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) /\ j e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
83	82	ralimdva 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. j e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
84	8, 83	syl5bi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
85	84	ex 435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
86	85	com23 81	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
87	86	impancom 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( i e. N -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
88	87	imp 430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
89	88	ralimdva 2767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
90	89	ex 435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
91	90	expr 618	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. ( Base ` C ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
92	91	impd 432	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( y e. ( Base ` C ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
93	7, 92	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. S -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
94	93	com23 81	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
95	94	ex 435	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. ( Base ` C ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
96	95	impd 432	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
97	5, 96	syld 45	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
98	97	imp32 434	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2708   |-> cmpt 4418   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   Fincfn 7517   NNcn 10553   NN0cn0 10813   Basecbs 15057   .rcmulr 15127   0gc0g 15274   gsum_g cgsu 15275   Mndcmnd 16471   Ringcrg 17716  Poly₁cpl1 18706  coe₁cco1 18707   Mat cmat 19367   ConstPolyMat ccpmat 19662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-ot 3943  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-ofr 6483  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-sup 7902  df-oi 7971  df-card 8318  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-seq 12157  df-hash 12459  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-hom 15150  df-cco 15151  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-prds 15282  df-pws 15284  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-mhm 16518  df-submnd 16519  df-grp 16609  df-minusg 16610  df-mulg 16612  df-subg 16750  df-ghm 16817  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-abl 17369  df-mgp 17660  df-ur 17672  df-ring 17718  df-subrg 17942  df-sra 18331  df-rgmod 18332  df-psr 18516  df-mpl 18518  df-opsr 18520  df-psr1 18709  df-ply1 18711  df-coe1 18712  df-dsmm 19230  df-frlm 19245  df-mat 19368  df-cpmat 19665

This theorem is referenced by:  cpmatmcl  19678