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Theorem cpmatmcllem 19345
Description: Lemma for cpmatmcl 19346. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
cpmatsrngpmat.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cpmatsrngpmat.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
Assertion
Ref Expression
cpmatmcllem  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) )
Distinct variable groups:    C, i,
j    i, N, j    R, i, j    C, c    N, c, x, y, i, j    P, c    R, c, x, y    y, S    C, k    k, N, c, i, j, x, y    P, k    R, k
Allowed substitution hints:    C( x, y)    P( x, y, i, j)    S( x, i, j, k, c)

Proof of Theorem cpmatmcllem
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmatsrngpmat.s . . . 4  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
2 cpmatsrngpmat.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 cpmatsrngpmat.c . . . 4  |-  C  =  ( N Mat  P )
4 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
51, 2, 3, 4cpmatelimp 19339 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
61, 2, 3, 4cpmatelimp 19339 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  S  ->  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( y  e.  S  ->  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
8 ralcom 3018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  <->  A. j  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
9 r19.26-2 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
10 ralcom 3018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
119, 10bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
12 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/ c ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )
13 nfra1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/ c A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
1412, 13nfan 1929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/ c ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
15 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
16 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
17 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  i  e.  N )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
19 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
213, 16, 4, 17, 18, 20matecld 19054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
i x k )  e.  ( Base `  P
) )
22 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  j  e.  N )
23 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
253, 16, 4, 18, 22, 24matecld 19054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
k y j )  e.  ( Base `  P
) )
2615, 21, 25jca32 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  ( R  e.  Ring  /\  (
( i x k )  e.  ( Base `  P )  /\  (
k y j )  e.  ( Base `  P
) ) ) )
2726adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( (
i x k )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( k
y j )  e.  ( Base `  P
) ) ) )
28 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( l  =  k  ->  (
i x l )  =  ( i x k ) )
2928fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( l  =  k  ->  (coe1 `  ( i x l ) )  =  (coe1 `  ( i x k ) ) )
3029fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( l  =  k  ->  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c ) )
3130eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( l  =  k  ->  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  <-> 
( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
32 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( l  =  k  ->  (
l y j )  =  ( k y j ) )
3332fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( l  =  k  ->  (coe1 `  ( l y j ) )  =  (coe1 `  ( k y j ) ) )
3433fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( l  =  k  ->  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c ) )
3534eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( l  =  k  ->  (
( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  <-> 
( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
3631, 35anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3736rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( k  e.  N  /\  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  (
( k  e.  N  /\  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3938exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( c  e.  NN  ->  ( k  e.  N  ->  ( A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( (coe1 `  (
i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
4039com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( k  e.  N  ->  ( c  e.  NN  ->  ( A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
(coe1 `  ( i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
4140imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  /\  c  e.  NN )  ->  ( A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( (coe1 `  (
i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4241ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  ( A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  (
i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4342impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( k  e.  N  ->  A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4443imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
45 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
46 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
472, 16, 45, 46cply1mul 18461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i x k )  e.  ( Base `  P )  /\  (
k y j )  e.  ( Base `  P
) ) )  -> 
( A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
4827, 44, 47sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
4948r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  c  e.  NN )  ->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) )
5049an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  /\  k  e.  N
)  ->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) )
5150mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) ) )
5251oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g `  R
) ) ) )
53 ringmnd 17333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
5453anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Mnd )
)
5554ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )
)
5645gsumz 16131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
5857ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
5952, 58eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
6059ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( c  e.  NN  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
6114, 60ralrimi 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  A. c  e.  NN  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
62 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  R  e.  Ring )
63 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  NN0 )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  c  e.  NN0 )
652ply1ring 18415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
6665ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  P  e.  Ring )
6716, 46ringcl 17338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
i x k )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( k
y j )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
6866, 21, 25, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
6968ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  A. k  e.  N  ( (
i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  A. k  e.  N  ( (
i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
71 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  N  e.  Fin )
722, 16, 62, 64, 70, 71coe1fzgsumd 18470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) ) )
7372eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  (
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7473ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  <->  A. c  e.  NN  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
) ) )  =  ( 0g `  R
) ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
)  <->  A. c  e.  NN  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7661, 75mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) )
7776ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
7811, 77syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
7978expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
8079expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  (
j  e.  N  -> 
( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
8180com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( j  e.  N  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
8281imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  i  e.  N
)  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  /\  j  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) )
8382ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  i  e.  N )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. j  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
848, 83syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  i  e.  N )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
8584ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
8685com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
8786impancom 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( i  e.  N  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
8887imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
8988ralimdva 2865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
9089ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
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i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
9190expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( y  e.  ( Base `  C
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(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) ) )
9291impd 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( ( y  e.  ( Base `  C
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l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
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 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
937, 92syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( y  e.  S  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
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`  R ) ) ) )
9493com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  (
y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
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`  R ) ) ) )
9594ex 434 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  (
Base `  C )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  (
y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
9695impd 431 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
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`  R ) ) ) )
975, 96syld 44 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  ( y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
9897imp32 433 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   NNcn 10556   NN0cn0 10816   Basecbs 14643   .rcmulr 14712   0gc0g 14856    gsumg cgsu 14857   Mndcmnd 16045   Ringcrg 17324  Poly1cpl1 18342  coe1cco1 18343   Mat cmat 19035   ConstPolyMat ccpmat 19330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-hom 14735  df-cco 14736  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-prds 14864  df-pws 14866  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-subrg 17553  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-psr 18131  df-mpl 18133  df-opsr 18135  df-psr1 18345  df-ply1 18347  df-coe1 18348  df-dsmm 18889  df-frlm 18904  df-mat 19036  df-cpmat 19333
This theorem is referenced by:  cpmatmcl  19346
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