MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmatmcllem Structured version   Unicode version

Theorem cpmatmcllem 18986
Description: Lemma for cpmatmcl 18987. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
cpmatsrngpmat.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cpmatsrngpmat.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
Assertion
Ref Expression
cpmatmcllem  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) )
Distinct variable groups:    C, i,
j    i, N, j    R, i, j    C, c    N, c, x, y, i, j    P, c    R, c, x, y    y, S    C, k    k, N, c, i, j, x, y    P, k    R, k
Allowed substitution hints:    C( x, y)    P( x, y, i, j)    S( x, i, j, k, c)

Proof of Theorem cpmatmcllem
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmatsrngpmat.s . . . 4  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
2 cpmatsrngpmat.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 cpmatsrngpmat.c . . . 4  |-  C  =  ( N Mat  P )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
51, 2, 3, 4cpmatelimp 18980 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
61, 2, 3, 4cpmatelimp 18980 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  S  ->  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( y  e.  S  ->  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
8 ralcom 3022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  <->  A. j  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
9 r19.26-2 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
10 ralcom 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
119, 10bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
12 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/ c ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )
13 nfra1 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/ c A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
1412, 13nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/ c ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
15 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
16 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
17 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  i  e.  N )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
19 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  x  e.  ( Base `  C )
)
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
213, 16, 4, 17, 18, 20matecld 18695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
i x k )  e.  ( Base `  P
) )
22 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  j  e.  N )
23 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  y  e.  ( Base `  C )
)
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
253, 16, 4, 18, 22, 24matecld 18695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
k y j )  e.  ( Base `  P
) )
2615, 21, 25jca32 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  ( R  e.  Ring  /\  (
( i x k )  e.  ( Base `  P )  /\  (
k y j )  e.  ( Base `  P
) ) ) )
2726adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( (
i x k )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( k
y j )  e.  ( Base `  P
) ) ) )
28 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( l  =  k  ->  (
i x l )  =  ( i x k ) )
2928fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( l  =  k  ->  (coe1 `  ( i x l ) )  =  (coe1 `  ( i x k ) ) )
3029fveq1d 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( l  =  k  ->  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c ) )
3130eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( l  =  k  ->  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  <-> 
( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
32 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( l  =  k  ->  (
l y j )  =  ( k y j ) )
3332fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( l  =  k  ->  (coe1 `  ( l y j ) )  =  (coe1 `  ( k y j ) ) )
3433fveq1d 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( l  =  k  ->  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c ) )
3534eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( l  =  k  ->  (
( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  <-> 
( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
3631, 35anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3736rspcva 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( k  e.  N  /\  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  (
( k  e.  N  /\  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
3938exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( c  e.  NN  ->  ( k  e.  N  ->  ( A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( (coe1 `  (
i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
4039com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( k  e.  N  ->  ( c  e.  NN  ->  ( A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( (
(coe1 `  ( i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) ) ) )
4140imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  k  e.  N )  /\  c  e.  NN )  ->  ( A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( (coe1 `  (
i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4241ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  ( A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  (
i x k ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  (
(coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4342impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( k  e.  N  ->  A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4443imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
45 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
46 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
472, 16, 45, 46cply1mul 18106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i x k )  e.  ( Base `  P )  /\  (
k y j )  e.  ( Base `  P
) ) )  -> 
( A. c  e.  NN  ( ( (coe1 `  ( i x k ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  /\  ( (coe1 `  ( k y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )
4827, 44, 47sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )
4948r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  k  e.  N
)  /\  c  e.  NN )  ->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) )
5049an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  /\  k  e.  N
)  ->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) )
5150mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) ) )
5251oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g `  R
) ) ) )
53 rngmnd 16995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
5453anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Mnd )
)
5554ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )
)
5645gsumz 15824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  N  e.  Fin )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
5857ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
5952, 58eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  (
( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  /\  c  e.  NN )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
6059ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( c  e.  NN  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
6114, 60ralrimi 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  A. c  e.  NN  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
62 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  R  e.  Ring )
63 nnnn0 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  NN0 )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  c  e.  NN0 )
652ply1rng 18060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
6665ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  P  e.  Ring )
6716, 46rngcl 16999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
i x k )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( k
y j )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
6866, 21, 25, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  k  e.  N )  ->  (
( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
6968ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  A. k  e.  N  ( (
i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  A. k  e.  N  ( (
i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
71 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  N  e.  Fin )
722, 16, 62, 64, 70, 71coe1fzgsumd 18115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) ) )
7372eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  c  e.  NN )  ->  (
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  <->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7473ralbidva 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R )  <->  A. c  e.  NN  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) `  c
) ) )  =  ( 0g `  R
) ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
)  <->  A. c  e.  NN  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( (coe1 `  ( ( i x k ) ( .r `  P ) ( k y j ) ) ) `  c ) ) )  =  ( 0g `  R ) ) )
7661, 75mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) )
7776ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. c  e.  NN  A. l  e.  N  ( (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
7811, 77syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
7978expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
8079expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  (
j  e.  N  -> 
( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
8180com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( j  e.  N  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
8281imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  i  e.  N
)  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  /\  j  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) )
8382ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  i  e.  N )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. j  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
848, 83syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  i  e.  N )  /\  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
8584ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
8685com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
8786impancom 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( i  e.  N  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
8887imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  /\  i  e.  N )  ->  ( A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
8988ralimdva 2872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
9089ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
9190expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( y  e.  ( Base `  C
)  ->  ( A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) ) )
9291impd 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  A. l  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
l y j ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) ) ) )
937, 92syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( y  e.  S  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  (
(coe1 `  ( i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
9493com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  (
y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
9594ex 434 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  (
Base `  C )  ->  ( A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R )  ->  (
y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
9695impd 431 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. l  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  (
i x l ) ) `  c )  =  ( 0g `  R ) )  -> 
( y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
975, 96syld 44 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  ( y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r `  P
) ( k y j ) ) ) ) ) `  c
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
9897imp32 433 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  A. c  e.  NN  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i x k ) ( .r
`  P ) ( k y j ) ) ) ) ) `
 c )  =  ( 0g `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   NNcn 10532   NN0cn0 10791   Basecbs 14486   .rcmulr 14552   0gc0g 14691    gsumg cgsu 14692   Mndcmnd 15722   Ringcrg 16986  Poly1cpl1 17987  coe1cco1 17988   Mat cmat 18676   ConstPolyMat ccpmat 18971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-prds 14699  df-pws 14701  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-subrg 17210  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-psr 17776  df-mpl 17778  df-opsr 17780  df-psr1 17990  df-ply1 17992  df-coe1 17993  df-dsmm 18530  df-frlm 18545  df-mat 18677  df-cpmat 18974
This theorem is referenced by:  cpmatmcl  18987
  Copyright terms: Public domain W3C validator