Theorem cpmatmcllem 19403

Description: Lemma for cpmatmcl 19404. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	|- S = ( N ConstPolyMat R )
cpmatsrngpmat.p	|- P = (Poly1 ` R )
cpmatsrngpmat.c	|- C = ( N Mat P )

Assertion

Ref	Expression
cpmatmcllem	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )

Distinct variable groups:   C, i, j   i, N, j   R, i, j   C, c   N, c, x, y, i, j   P, c   R, c, x, y   y, S   C, k   k, N, c, i, j, x, y   P, k   R, k

Allowed substitution hints:   C( x, y)   P( x, y, i, j)   S( x, i, j, k, c)

Proof of Theorem cpmatmcllem

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmatsrngpmat.s	. . . 4 |- S = ( N ConstPolyMat R )
2		cpmatsrngpmat.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
3		cpmatsrngpmat.c	. . . 4 |- C = ( N Mat P )
4		eqid 2402	. . . 4 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
5	1, 2, 3, 4	cpmatelimp 19397	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
6	1, 2, 3, 4	cpmatelimp 19397	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( y e. S -> ( y e. ( Base ` C ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
7	6	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. S -> ( y e. ( Base ` C ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
8		ralcom 2967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> A. j e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
9		r19.26-2 2934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. l e. N A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
10		ralcom 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. l e. N A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
11	9, 10	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
12		nfv 1728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/ c ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) )
13		nfra1 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/ c A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
14	12, 13	nfan 1956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/ c ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
15		simp-4r 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> R e. Ring )
16		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
17		simplrl 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> i e. N )
18		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> k e. N )
19		simplrl 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
20	19	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> x e. ( Base ` C ) )
21	3, 16, 4, 17, 18, 20	matecld 19112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( i x k ) e. ( Base ` P ) )
22		simplrr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> j e. N )
23		simplrr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
24	23	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> y e. ( Base ` C ) )
25	3, 16, 4, 18, 22, 24	matecld 19112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( k y j ) e. ( Base ` P ) )
26	15, 21, 25	jca32 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( R e. Ring /\ ( ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) ) )
27	26	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) -> ( R e. Ring /\ ( ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) ) )
28		oveq2 6242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( l = k -> ( i x l ) = ( i x k ) )
29	28	fveq2d 5809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( l = k -> (coe1 ` ( i x l ) ) = (coe1 ` ( i x k ) ) )
30	29	fveq1d 5807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( l = k -> ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) )
31	30	eqeq1d 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( l = k -> ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
32		oveq1 6241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( l = k -> ( l y j ) = ( k y j ) )
33	32	fveq2d 5809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( l = k -> (coe1 ` ( l y j ) ) = (coe1 ` ( k y j ) ) )
34	33	fveq1d 5807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( l = k -> ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) )
35	34	eqeq1d 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( l = k -> ( ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
36	31, 35	anbi12d 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( l = k -> ( ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
37	36	rspcva 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( k e. N /\ A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> ( ( k e. N /\ A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
39	38	exp4b 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( c e. NN -> ( k e. N -> ( A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
40	39	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( k e. N -> ( c e. NN -> ( A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) ) )
41	40	imp31 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) /\ c e. NN ) -> ( A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
42	41	ralimdva 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
43	42	impancom 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( k e. N -> A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
44	43	imp 427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) -> A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
45		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
46		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
47	2, 16, 45, 46	cply1mul 18547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) ) -> ( A. c e. NN ( ( (coe1 ` ( i x k ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( k y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
48	27, 44, 47	sylc 59	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
49	48	r19.21bi 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ k e. N ) /\ c e. NN ) -> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
50	49	an32s 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) /\ k e. N ) -> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
51	50	mpteq2dva 4480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) = ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
52	51	oveq2d 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) )
53		ringmnd 17419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
54	53	anim2i 567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( N e. Fin /\ R e. Mnd ) )
55	54	ancomd 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R e. Mnd /\ N e. Fin ) )
56	45	gsumz 16221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( R e. Mnd /\ N e. Fin ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
58	57	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
59	52, 58	eqtrd 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) /\ c e. NN ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) )
60	59	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( c e. NN -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
61	14, 60	ralrimi 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> A. c e. NN ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) )
62		simp-4r 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> R e. Ring )
63		nnnn0 10763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( c e. NN -> c e. NN0 )
64	63	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> c e. NN0 )
65	2	ply1ring 18501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
66	65	ad4antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> P e. Ring )
67	16, 46	ringcl 17424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( P e. Ring /\ ( i x k ) e. ( Base ` P ) /\ ( k y j ) e. ( Base ` P ) ) -> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
68	66, 21, 25, 67	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
69	68	ralrimiva 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> A. k e. N ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
70	69	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> A. k e. N ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) e. ( Base ` P ) )
71		simp-4l 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> N e. Fin )
72	2, 16, 62, 64, 70, 71	coe1fzgsumd 18556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) )
73	72	eqeq1d 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ c e. NN ) -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
74	73	ralbidva 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> A. c e. NN ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
75	74	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) <-> A. c e. NN ( R gsumg ( k e. N |-> ( (coe1 ` ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ` c ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
76	61, 75	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
77	76	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. c e. NN A. l e. N ( ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
78	11, 77	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
79	78	expd 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
80	79	expr 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( j e. N -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
81	80	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( j e. N -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
82	81	imp31 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) /\ j e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
83	82	ralimdva 2811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. j e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
84	8, 83	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) /\ A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
85	84	ex 432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
86	85	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
87	86	impancom 438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( i e. N -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
88	87	imp 427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) /\ i e. N ) -> ( A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
89	88	ralimdva 2811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
90	89	ex 432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
91	90	expr 613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. ( Base ` C ) -> ( A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
92	91	impd 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( y e. ( Base ` C ) /\ A. l e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( l y j ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
93	7, 92	syld 42	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. S -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
94	93	com23 78	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
95	94	ex 432	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. ( Base ` C ) -> ( A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
96	95	impd 429	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. l e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( i x l ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
97	5, 96	syld 42	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
98	97	imp32 431	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. i e. N A. j e. N A. c e. NN ( (coe1 ` ( P gsumg ( k e. N |-> ( ( i x k ) ( .r ` P ) ( k y j ) ) ) ) ) ` c ) = ( 0g ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2753   |-> cmpt 4452   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Fincfn 7474   NNcn 10496   NN0cn0 10756   Basecbs 14733   .rcmulr 14802   0gc0g 14946   gsum_g cgsu 14947   Mndcmnd 16135   Ringcrg 17410  Poly₁cpl1 18428  coe₁cco1 18429   Mat cmat 19093   ConstPolyMat ccpmat 19388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-ofr 6478  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-hash 12360  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-hom 14825  df-cco 14826  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-prds 14954  df-pws 14956  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-mulg 16276  df-subg 16414  df-ghm 16481  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-subrg 17639  df-sra 18030  df-rgmod 18031  df-psr 18217  df-mpl 18219  df-opsr 18221  df-psr1 18431  df-ply1 18433  df-coe1 18434  df-dsmm 18953  df-frlm 18968  df-mat 19094  df-cpmat 19391

This theorem is referenced by:  cpmatmcl  19404