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Theorem cpmatacl 18979
Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring  R is closed under addition. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
cpmatsrngpmat.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cpmatsrngpmat.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
Assertion
Ref Expression
cpmatacl  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  C ) y )  e.  S )
Distinct variable groups:    x, N, y    x, R, y    y, S
Allowed substitution hints:    C( x, y)    P( x, y)    S( x)

Proof of Theorem cpmatacl
Dummy variables  i 
j  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmatsrngpmat.s . . . . . 6  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
2 cpmatsrngpmat.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 cpmatsrngpmat.c . . . . . 6  |-  C  =  ( N Mat  P )
4 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
5 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2462 . . . . . 6  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
71, 2, 3, 4, 5, 6cpmatelimp2 18977 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
) ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6cpmatelimp2 18977 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  S  ->  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R ) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
) ) ) )
9 r19.26-2 2985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  /\  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b ) )  <->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R ) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
) ) )
10 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
115, 10rngacl 17008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  ( Base `  R
)  /\  b  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( a
( +g  `  R ) b )  e.  (
Base `  R )
)
12113expb 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( a ( +g  `  R ) b )  e.  ( Base `  R
) )
132ply1sca 18060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
1413eqcomd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Scalar `  P )  =  R )
1514fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( +g  `  (Scalar `  P )
)  =  ( +g  `  R ) )
1615oveqd 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  =  ( a ( +g  `  R
) b ) )
1716eleq1d 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  e.  ( Base `  R )  <->  ( a
( +g  `  R ) b )  e.  (
Base `  R )
) )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  e.  ( Base `  R )  <->  ( a
( +g  `  R ) b )  e.  (
Base `  R )
) )
1912, 18mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( a ( +g  `  (Scalar `  P )
) b )  e.  ( Base `  R
) )
2019ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  e.  ( Base `  R ) ) )
2120ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  e.  ( Base `  R ) ) )
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( a ( +g  `  (Scalar `  P )
) b )  e.  ( Base `  R
) )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  ->  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  e.  ( Base `  R ) )
24 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  =  ( a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  ->  ( (algSc `  P ) `  c
)  =  ( (algSc `  P ) `  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) ) )
2524eqeq2d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  =  ( a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  ->  ( (
i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
)  <->  ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) ) ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  /\  c  =  ( a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) )  ->  (
( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
)  <->  ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) ) ) )
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )
2827ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )
2928anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
) )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  ->  (
( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) ) )
31 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( +g  `  C )  =  ( +g  `  C )
32 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
333, 4, 31, 32matplusgcell 18697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  P
) ( i y j ) ) )
3430, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  ->  (
i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  P ) ( i y j ) ) )
35 oveq12 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  /\  ( i
y j )  =  ( (algSc `  P
) `  b )
)  ->  ( (
i x j ) ( +g  `  P
) ( i y j ) )  =  ( ( (algSc `  P ) `  a
) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  b
) ) )
3635ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
)  ->  ( (
i x j ) ( +g  `  P
) ( i y j ) )  =  ( ( (algSc `  P ) `  a
) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  b
) ) )
37 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
382ply1rng 18055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
3938ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  ->  P  e.  Ring )
402ply1lmod 18059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
4140ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  ->  P  e.  LMod )
426, 37, 39, 41asclghm 17753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( (Scalar `  P
)  GrpHom  P ) )
4313adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  =  (Scalar `  P
) )
4443fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
4544eleq2d 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( a  e.  (
Base `  R )  <->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) ) )
4645biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( a  e.  (
Base `  R )  ->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) ) )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( a  e.  ( Base `  R
)  ->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  P
) ) ) )
4847adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) )  ->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) ) )
4948imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
a  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
5013ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
5150fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  P
) ) )
5251eleq2d 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( b  e.  ( Base `  R
)  <->  b  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) ) ) )
5352biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( b  e.  ( Base `  R
)  ->  b  e.  ( Base `  (Scalar `  P
) ) ) )
5453adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) )  ->  b  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) ) )
5554imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
b  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
56 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
57 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( +g  `  (Scalar `  P )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  P )
)
5856, 57, 32ghmlin 16062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( (algSc `  P )  e.  ( (Scalar `  P
)  GrpHom  P )  /\  a  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
)  /\  b  e.  ( Base `  (Scalar `  P
) ) )  -> 
( (algSc `  P
) `  ( a
( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) )  =  ( ( (algSc `  P
) `  a )
( +g  `  P ) ( (algSc `  P
) `  b )
) )
5942, 49, 55, 58syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( (algSc `  P
) `  ( a
( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) )  =  ( ( (algSc `  P
) `  a )
( +g  `  P ) ( (algSc `  P
) `  b )
) )
6059eqcomd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( (algSc `  P ) `  a
) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  b
) )  =  ( (algSc `  P ) `  ( a ( +g  `  (Scalar `  P )
) b ) ) )
6136, 60sylan9eqr 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  ->  (
( i x j ) ( +g  `  P
) ( i y j ) )  =  ( (algSc `  P
) `  ( a
( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) ) )
6234, 61eqtrd 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  ->  (
i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) ) )
6323, 26, 62rspcedvd 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) )
6463ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P
) `  b )  /\  ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
) )  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) )
6564expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  (
( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
6665anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  a  e.  ( Base `  R ) )  /\  b  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  (
( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
6766rexlimdva 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  a  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( E. b  e.  ( Base `  R ) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  ->  ( (
i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
6867com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  a  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  ->  ( E. b  e.  ( Base `  R ) ( i y j )  =  ( (algSc `  P
) `  b )  ->  E. c  e.  (
Base `  R )
( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
6968rexlimdva 2950 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )  ->  ( E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
7069impd 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( ( E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  /\  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b ) )  ->  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) )
7170ralimdvva 2870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  /\  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) )
729, 71syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) )
7372expd 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
7473expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) ) )
7574impd 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R
) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a ) )  -> 
( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
7675ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  (
Base `  C )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R
) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a ) )  -> 
( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) ) )
7776com34 83 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  (
Base `  C )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  (
( x  e.  (
Base `  C )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) ) )
7877impd 431 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R
) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
798, 78syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  S  ->  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R
) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
8079com23 78 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R
) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a ) )  -> 
( y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
817, 80syld 44 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  ( y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
8281imp32 433 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) )
83 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
8483adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  N  e.  Fin )
85 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
8685adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  R  e.  Ring )
872, 3pmatrng 18956 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
8887adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  C  e.  Ring )
89 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  S )
9089anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  S
) )
91 df-3an 970 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  x  e.  S )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  S ) )
9290, 91sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  x  e.  S ) )
931, 2, 3, 4cpmatpmat 18973 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
9492, 93syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
95 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
9695anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  S
) )
97 df-3an 970 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  S )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  S ) )
9896, 97sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  S ) )
991, 2, 3, 4cpmatpmat 18973 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
10098, 99syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
1014, 31rngacl 17008 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( x
( +g  `  C ) y )  e.  (
Base `  C )
)
10288, 94, 100, 101syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  C
) y )  e.  ( Base `  C
) )
1031, 2, 3, 4, 5, 6cpmatel2 18976 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
x ( +g  `  C
) y )  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
( x ( +g  `  C ) y )  e.  S  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) )
10484, 86, 102, 103syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( x ( +g  `  C ) y )  e.  S  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) )
10582, 104mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  C
) y )  e.  S )
106105ralrimivva 2880 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  C ) y )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   Basecbs 14481   +g cplusg 14546  Scalarcsca 14549    GrpHom cghm 16054   Ringcrg 16981   LModclmod 17290  algSccascl 17726  Poly1cpl1 17982   Mat cmat 18671   ConstPolyMat ccpmat 18966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-ot 4031  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-ofr 6518  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-hom 14570  df-cco 14571  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-prds 14694  df-pws 14696  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-srg 16943  df-rng 16983  df-subrg 17205  df-lmod 17292  df-lss 17357  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-ascl 17729  df-psr 17771  df-mvr 17772  df-mpl 17773  df-opsr 17775  df-psr1 17985  df-vr1 17986  df-ply1 17987  df-coe1 17988  df-dsmm 18525  df-frlm 18540  df-mamu 18648  df-mat 18672  df-cpmat 18969
This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  18983
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