Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmatacl Structured version   Unicode version

Theorem cpmatacl 19675
 Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring is closed under addition. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s ConstPolyMat
cpmatsrngpmat.p Poly1
cpmatsrngpmat.c Mat
Assertion
Ref Expression
cpmatacl
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem cpmatacl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmatsrngpmat.s . . . . . 6 ConstPolyMat
2 cpmatsrngpmat.p . . . . . 6 Poly1
3 cpmatsrngpmat.c . . . . . 6 Mat
4 eqid 2429 . . . . . 6
5 eqid 2429 . . . . . 6
6 eqid 2429 . . . . . 6 algSc algSc
71, 2, 3, 4, 5, 6cpmatelimp2 19673 . . . . 5 algSc
81, 2, 3, 4, 5, 6cpmatelimp2 19673 . . . . . . 7 algSc
9 r19.26-2 2963 . . . . . . . . . . . . . 14 algSc algSc algSc algSc
10 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
115, 10ringacl 17747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
12113expb 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
132ply1sca 18785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Scalar
1413eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Scalar
1514fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Scalar
1615oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Scalar
1716eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Scalar
1817adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Scalar
1912, 18mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Scalar
2019ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Scalar
2120ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Scalar
2221imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Scalar
2322adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 algSc algSc Scalar
24 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Scalar algSc algSc Scalar
2524eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Scalar algSc algSc Scalar
2625adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 algSc algSc Scalar algSc algSc Scalar
27 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2827ancomd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2928anim1i 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3029ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 algSc algSc
31 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
32 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
333, 4, 31, 32matplusgcell 19393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 algSc algSc
35 oveq12 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 algSc algSc algSc algSc
3635ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 algSc algSc algSc algSc
37 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Scalar Scalar
382ply1ring 18780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3938ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
402ply1lmod 18784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4140ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
426, 37, 39, 41asclghm 18501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 algSc Scalar
4313adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Scalar
4443fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Scalar
4544eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Scalar
4645biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Scalar
4746ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Scalar
4847adantrd 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Scalar
4948imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Scalar
5013ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Scalar
5150fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Scalar
5251eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Scalar
5352biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Scalar
5453adantld 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Scalar
5554imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Scalar
56 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Scalar Scalar
57 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Scalar Scalar
5856, 57, 32ghmlin 16843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 algSc Scalar Scalar Scalar algSc Scalar algSc algSc
5942, 49, 55, 58syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 algSc Scalar algSc algSc
6059eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 algSc algSc algSc Scalar
6136, 60sylan9eqr 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 algSc algSc algSc Scalar
6234, 61eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 algSc algSc algSc Scalar
6323, 26, 62rspcedvd 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 algSc algSc algSc
6463ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 algSc algSc algSc
6564expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 algSc algSc algSc
6665anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 algSc algSc algSc
6766rexlimdva 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 algSc algSc algSc
6867com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 algSc algSc algSc
6968rexlimdva 2924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 algSc algSc algSc
7069impd 432 . . . . . . . . . . . . . . 15 algSc algSc algSc
7170ralimdvva 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 algSc algSc algSc
729, 71syl5bir 221 . . . . . . . . . . . . 13 algSc algSc algSc
7372expd 437 . . . . . . . . . . . 12 algSc algSc algSc
7473expr 618 . . . . . . . . . . 11 algSc algSc algSc
7574impd 432 . . . . . . . . . 10 algSc algSc algSc
7675ex 435 . . . . . . . . 9 algSc algSc algSc
7776com34 86 . . . . . . . 8 algSc algSc algSc
7877impd 432 . . . . . . 7 algSc algSc algSc
798, 78syld 45 . . . . . 6 algSc algSc
8079com23 81 . . . . 5 algSc algSc
817, 80syld 45 . . . 4 algSc
8281imp32 434 . . 3 algSc
83 simpl 458 . . . . 5
8483adantr 466 . . . 4
85 simpr 462 . . . . 5
8685adantr 466 . . . 4
872, 3pmatring 19652 . . . . . 6
8887adantr 466 . . . . 5
89 simpl 458 . . . . . . . 8
9089anim2i 571 . . . . . . 7
91 df-3an 984 . . . . . . 7
9290, 91sylibr 215 . . . . . 6
931, 2, 3, 4cpmatpmat 19669 . . . . . 6
9492, 93syl 17 . . . . 5
95 simpr 462 . . . . . . . 8
9695anim2i 571 . . . . . . 7
97 df-3an 984 . . . . . . 7
9896, 97sylibr 215 . . . . . 6
991, 2, 3, 4cpmatpmat 19669 . . . . . 6
10098, 99syl 17 . . . . 5
1014, 31ringacl 17747 . . . . 5
10288, 94, 100, 101syl3anc 1264 . . . 4
1031, 2, 3, 4, 5, 6cpmatel2 19672 . . . 4 algSc
10484, 86, 102, 103syl3anc 1264 . . 3 algSc
10582, 104mpbird 235 . 2
106105ralrimivva 2853 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  wrex 2783  cfv 5601  (class class class)co 6305  cfn 7577  cbs 15084   cplusg 15153  Scalarcsca 15156   cghm 16835  crg 17719  clmod 18030  algSccascl 18474  Poly1cpl1 18709   Mat cmat 19367   ConstPolyMat ccpmat 19662 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15166  df-mulr 15167  df-sca 15169  df-vsca 15170  df-ip 15171  df-tset 15172  df-ple 15173  df-ds 15175  df-hom 15177  df-cco 15178  df-0g 15303  df-gsum 15304  df-prds 15309  df-pws 15311  df-mre 15447  df-mrc 15448  df-acs 15450  df-mgm 16443  df-sgrp 16482  df-mnd 16492  df-mhm 16537  df-submnd 16538  df-grp 16628  df-minusg 16629  df-sbg 16630  df-mulg 16631  df-subg 16769  df-ghm 16836  df-cntz 16926  df-cmn 17371  df-abl 17372  df-mgp 17663  df-ur 17675  df-srg 17679  df-ring 17721  df-subrg 17945  df-lmod 18032  df-lss 18095  df-sra 18334  df-rgmod 18335  df-ascl 18477  df-psr 18519  df-mvr 18520  df-mpl 18521  df-opsr 18523  df-psr1 18712  df-vr1 18713  df-ply1 18714  df-coe1 18715  df-dsmm 19230  df-frlm 19245  df-mamu 19344  df-mat 19368  df-cpmat 19665 This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  19679
 Copyright terms: Public domain W3C validator