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Theorem cpmatacl 19675
Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring  R is closed under addition. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
cpmatsrngpmat.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cpmatsrngpmat.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
Assertion
Ref Expression
cpmatacl  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  C ) y )  e.  S )
Distinct variable groups:    x, N, y    x, R, y    y, S
Allowed substitution hints:    C( x, y)    P( x, y)    S( x)

Proof of Theorem cpmatacl
Dummy variables  i 
j  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmatsrngpmat.s . . . . . 6  |-  S  =  ( N ConstPolyMat  R )
2 cpmatsrngpmat.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 cpmatsrngpmat.c . . . . . 6  |-  C  =  ( N Mat  P )
4 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
5 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2429 . . . . . 6  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
71, 2, 3, 4, 5, 6cpmatelimp2 19673 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  (
Base `  C )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
) ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6cpmatelimp2 19673 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  S  ->  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R ) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
) ) ) )
9 r19.26-2 2963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  /\  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b ) )  <->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R ) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
) ) )
10 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
115, 10ringacl 17747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  ( Base `  R
)  /\  b  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( a
( +g  `  R ) b )  e.  (
Base `  R )
)
12113expb 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( a ( +g  `  R ) b )  e.  ( Base `  R
) )
132ply1sca 18785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
1413eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Scalar `  P )  =  R )
1514fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( +g  `  (Scalar `  P )
)  =  ( +g  `  R ) )
1615oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  =  ( a ( +g  `  R
) b ) )
1716eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  e.  ( Base `  R )  <->  ( a
( +g  `  R ) b )  e.  (
Base `  R )
) )
1817adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  e.  ( Base `  R )  <->  ( a
( +g  `  R ) b )  e.  (
Base `  R )
) )
1912, 18mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( a ( +g  `  (Scalar `  P )
) b )  e.  ( Base `  R
) )
2019ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  e.  ( Base `  R ) ) )
2120ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  e.  ( Base `  R ) ) )
2221imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( a ( +g  `  (Scalar `  P )
) b )  e.  ( Base `  R
) )
2322adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  ->  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  e.  ( Base `  R ) )
24 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  =  ( a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  ->  ( (algSc `  P ) `  c
)  =  ( (algSc `  P ) `  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) ) )
2524eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  =  ( a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b )  ->  ( (
i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
)  <->  ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) ) ) )
2625adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  /\  c  =  ( a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) )  ->  (
( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
)  <->  ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) ) ) )
27 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )
2827ancomd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )
2928anim1i 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
x  e.  ( Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
) )
3029ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  ->  (
( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) ) )
31 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( +g  `  C )  =  ( +g  `  C )
32 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
333, 4, 31, 32matplusgcell 19393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  C )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  P
) ( i y j ) ) )
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  ->  (
i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  P ) ( i y j ) ) )
35 oveq12 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  /\  ( i
y j )  =  ( (algSc `  P
) `  b )
)  ->  ( (
i x j ) ( +g  `  P
) ( i y j ) )  =  ( ( (algSc `  P ) `  a
) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  b
) ) )
3635ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
)  ->  ( (
i x j ) ( +g  `  P
) ( i y j ) )  =  ( ( (algSc `  P ) `  a
) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  b
) ) )
37 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
382ply1ring 18780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
3938ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  ->  P  e.  Ring )
402ply1lmod 18784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
4140ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  ->  P  e.  LMod )
426, 37, 39, 41asclghm 18501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( (Scalar `  P
)  GrpHom  P ) )
4313adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  =  (Scalar `  P
) )
4443fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
4544eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( a  e.  (
Base `  R )  <->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) ) )
4645biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( a  e.  (
Base `  R )  ->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) ) )
4746ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( a  e.  ( Base `  R
)  ->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  P
) ) ) )
4847adantrd 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) )  ->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) ) )
4948imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
a  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
5013ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
5150fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  P
) ) )
5251eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( b  e.  ( Base `  R
)  <->  b  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) ) ) )
5352biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( b  e.  ( Base `  R
)  ->  b  e.  ( Base `  (Scalar `  P
) ) ) )
5453adantld 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) )  ->  b  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) ) )
5554imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
b  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
56 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
57 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( +g  `  (Scalar `  P )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  P )
)
5856, 57, 32ghmlin 16843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( (algSc `  P )  e.  ( (Scalar `  P
)  GrpHom  P )  /\  a  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
)  /\  b  e.  ( Base `  (Scalar `  P
) ) )  -> 
( (algSc `  P
) `  ( a
( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) )  =  ( ( (algSc `  P
) `  a )
( +g  `  P ) ( (algSc `  P
) `  b )
) )
5942, 49, 55, 58syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( (algSc `  P
) `  ( a
( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) )  =  ( ( (algSc `  P
) `  a )
( +g  `  P ) ( (algSc `  P
) `  b )
) )
6059eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( (algSc `  P ) `  a
) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  b
) )  =  ( (algSc `  P ) `  ( a ( +g  `  (Scalar `  P )
) b ) ) )
6136, 60sylan9eqr 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  ->  (
( i x j ) ( +g  `  P
) ( i y j ) )  =  ( (algSc `  P
) `  ( a
( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) ) )
6234, 61eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  ->  (
i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  (
a ( +g  `  (Scalar `  P ) ) b ) ) )
6323, 26, 62rspcedvd 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  ( a  e.  (
Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R ) ) )  /\  ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  /\  ( i
x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )
) )  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) )
6463ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( i y j )  =  ( (algSc `  P
) `  b )  /\  ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
) )  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) )
6564expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  (
a  e.  ( Base `  R )  /\  b  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  (
( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
6665anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  /\  a  e.  ( Base `  R ) )  /\  b  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  (
( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
6766rexlimdva 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  a  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( E. b  e.  ( Base `  R ) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b
)  ->  ( (
i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
6867com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
y  e.  ( Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C
) ) )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  /\  a  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  ->  ( E. b  e.  ( Base `  R ) ( i y j )  =  ( (algSc `  P
) `  b )  ->  E. c  e.  (
Base `  R )
( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
6968rexlimdva 2924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )  ->  ( E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
7069impd 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  x  e.  ( Base `  C )
) )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( ( E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  /\  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b ) )  ->  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) )
7170ralimdvva 2843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  /\  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) )
729, 71syl5bir 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) )
7372expd 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( y  e.  (
Base `  C )  /\  x  e.  ( Base `  C ) ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
7473expr 618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  C
)  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P
) `  a )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) ) )
7574impd 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  ( Base `  C ) )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R
) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a ) )  -> 
( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
7675ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  (
Base `  C )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R
) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a ) )  -> 
( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) ) )
7776com34 86 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  (
Base `  C )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b )  ->  (
( x  e.  (
Base `  C )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R ) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) ) )
7877impd 432 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( y  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. b  e.  ( Base `  R
) ( i y j )  =  ( (algSc `  P ) `  b ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R
) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
798, 78syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  S  ->  ( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R
) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a ) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
8079com23 81 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. a  e.  ( Base `  R
) ( i x j )  =  ( (algSc `  P ) `  a ) )  -> 
( y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
817, 80syld 45 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  ( y  e.  S  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R ) ( i ( x ( +g  `  C ) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) ) )
8281imp32 434 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) )
83 simpl 458 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
8483adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  N  e.  Fin )
85 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
8685adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  R  e.  Ring )
872, 3pmatring 19652 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
8887adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  C  e.  Ring )
89 simpl 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  S )
9089anim2i 571 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  S
) )
91 df-3an 984 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  x  e.  S )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  S ) )
9290, 91sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  x  e.  S ) )
931, 2, 3, 4cpmatpmat 19669 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
9492, 93syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
95 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
9695anim2i 571 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  S
) )
97 df-3an 984 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  S )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  S ) )
9896, 97sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  S ) )
991, 2, 3, 4cpmatpmat 19669 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
10098, 99syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
1014, 31ringacl 17747 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
)  ->  ( x
( +g  `  C ) y )  e.  (
Base `  C )
)
10288, 94, 100, 101syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  C
) y )  e.  ( Base `  C
) )
1031, 2, 3, 4, 5, 6cpmatel2 19672 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
x ( +g  `  C
) y )  e.  ( Base `  C
) )  ->  (
( x ( +g  `  C ) y )  e.  S  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) )
10484, 86, 102, 103syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( x ( +g  `  C ) y )  e.  S  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  E. c  e.  ( Base `  R
) ( i ( x ( +g  `  C
) y ) j )  =  ( (algSc `  P ) `  c
) ) )
10582, 104mpbird 235 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( +g  `  C
) y )  e.  S )
106105ralrimivva 2853 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  C ) y )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   Basecbs 15084   +g cplusg 15153  Scalarcsca 15156    GrpHom cghm 16835   Ringcrg 17719   LModclmod 18030  algSccascl 18474  Poly1cpl1 18709   Mat cmat 19367   ConstPolyMat ccpmat 19662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15166  df-mulr 15167  df-sca 15169  df-vsca 15170  df-ip 15171  df-tset 15172  df-ple 15173  df-ds 15175  df-hom 15177  df-cco 15178  df-0g 15303  df-gsum 15304  df-prds 15309  df-pws 15311  df-mre 15447  df-mrc 15448  df-acs 15450  df-mgm 16443  df-sgrp 16482  df-mnd 16492  df-mhm 16537  df-submnd 16538  df-grp 16628  df-minusg 16629  df-sbg 16630  df-mulg 16631  df-subg 16769  df-ghm 16836  df-cntz 16926  df-cmn 17371  df-abl 17372  df-mgp 17663  df-ur 17675  df-srg 17679  df-ring 17721  df-subrg 17945  df-lmod 18032  df-lss 18095  df-sra 18334  df-rgmod 18335  df-ascl 18477  df-psr 18519  df-mvr 18520  df-mpl 18521  df-opsr 18523  df-psr1 18712  df-vr1 18713  df-ply1 18714  df-coe1 18715  df-dsmm 19230  df-frlm 19245  df-mamu 19344  df-mat 19368  df-cpmat 19665
This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  19679
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