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Theorem cpmadugsumlemC 19546
Description: Lemma C for cpmadugsum 19549. (Contributed by AV, 2-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
cpmadugsum.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
cpmadugsum.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cpmadugsum.y  |-  Y  =  ( N Mat  P )
cpmadugsum.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
cpmadugsum.x  |-  X  =  (var1 `  R )
cpmadugsum.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
cpmadugsum.m  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
cpmadugsum.r  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
cpmadugsum.1  |-  .1.  =  ( 1r `  Y )
Assertion
Ref Expression
cpmadugsumlemC  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( T `
 M )  .X.  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, i    i, M    i, N    R, i    i, X    i, Y    .X. , i    .x. , i    .1. , i    i, b    i, s    T, i
Allowed substitution hints:    A( i, s, b)    B( s, b)    P( i, s, b)    R( s, b)    T( s, b)    .x. ( s,
b)    .X. ( s, b)    .1. ( s, b)    .^ ( i, s, b)    M( s, b)    N( s, b)    X( s, b)    Y( s, b)

Proof of Theorem cpmadugsumlemC
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
3 eqid 2454 . . 3  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
4 cpmadugsum.r . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  Y )
5 crngring 17407 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
6 cpmadugsum.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  (Poly1 `  R )
76ply1ring 18487 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
85, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  Ring )
98anim2i 567 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )
)
10 cpmadugsum.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( N Mat  P )
1110matring 19115 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
129, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e.  Ring )
13123adant3 1014 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  Ring )
1413adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  Y  e.  Ring )
15 ovex 6298 . . . 4  |-  ( 0 ... s )  e. 
_V
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( 0 ... s )  e.  _V )
17 cpmadugsum.t . . . . . 6  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
18 cpmadugsum.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
19 cpmadugsum.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
2017, 18, 19, 6, 10mat2pmatbas 19397 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
215, 20syl3an2 1260 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
2221adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( T `  M )  e.  (
Base `  Y )
)
2393adant3 1014 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring ) )
2410matlmod 19101 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  Ring )  ->  Y  e.  LMod )
2523, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e.  LMod )
2625ad2antrr 723 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  Y  e.  LMod )
2783ad2ant2 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  P  e.  Ring )
28 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
2928ringmgp 17402 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Ring  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
3027, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
3130ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
32 elfznn0 11775 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 0 ... s )  ->  i  e.  NN0 )
3332adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  i  e.  NN0 )
3453ad2ant2 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
35 cpmadugsum.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  (var1 `  R )
36 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
3735, 6, 36vr1cl 18456 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
3834, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
3938ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
4028, 36mgpbas 17345 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
41 cpmadugsum.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
4240, 41mulgnn0cl 16360 . . . . . 6  |-  ( ( (mulGrp `  P )  e.  Mnd  /\  i  e. 
NN0  /\  X  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( i  .^  X )  e.  (
Base `  P )
)
4331, 33, 39, 42syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
i  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
446ply1crng 18435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  CRing
)
4544anim2i 567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing ) )
46453adant3 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing ) )
4710matsca2 19092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing )  ->  P  =  (Scalar `  Y
) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  P  =  (Scalar `  Y )
)
4948eqcomd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (Scalar `  Y )  =  P )
5049fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( Base `  (Scalar `  Y
) )  =  (
Base `  P )
)
5150eleq2d 2524 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (
( i  .^  X
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  <->  ( i  .^  X )  e.  (
Base `  P )
) )
5251ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
( i  .^  X
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  <->  ( i  .^  X )  e.  (
Base `  P )
) )
5343, 52mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
i  .^  X )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
54 simpll1 1033 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  N  e.  Fin )
5534ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  R  e.  Ring )
56 simplrl 759 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  s  e.  NN0 )
57 simprr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) ) )
5857anim1i 566 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s ) ) )
5918, 19, 6, 10, 17m2pmfzmap 19418 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 )  /\  (
b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s ) ) )  ->  ( T `  ( b `  i
) )  e.  (
Base `  Y )
)
6054, 55, 56, 58, 59syl31anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  ( T `  ( b `  i ) )  e.  ( Base `  Y
) )
61 eqid 2454 . . . . 5  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
62 cpmadugsum.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
63 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
641, 61, 62, 63lmodvscl 17727 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  (
i  .^  X )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  ( T `  ( b `
 i ) )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( T `  ( b `  i
) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
6526, 53, 60, 64syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( T `  ( b `  i
) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
66 simpl1 997 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  N  e.  Fin )
6734adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
68 simprl 754 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  s  e.  NN0 )
69 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( 0 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( T `  (
b `  i )
) ) )  =  ( i  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( T `  ( b `  i ) ) ) )
70 fzfid 12068 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 )  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) )  ->  ( 0 ... s )  e. 
Fin )
71 ovex 6298 . . . . . 6  |-  ( ( i  .^  X )  .x.  ( T `  (
b `  i )
) )  e.  _V
7271a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 )  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
( i  .^  X
)  .x.  ( T `  ( b `  i
) ) )  e. 
_V )
73 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  Y )  e. 
_V
7473a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 )  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) )  ->  ( 0g `  Y )  e.  _V )
7569, 70, 72, 74fsuppmptdm 7832 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  s  e.  NN0 )  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) )  ->  ( i  e.  ( 0 ... s
)  |->  ( ( i 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) finSupp  ( 0g
`  Y ) )
7666, 67, 68, 57, 75syl31anc 1229 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e.  ( 0 ... s
)  |->  ( ( i 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) finSupp  ( 0g
`  Y ) )
771, 2, 3, 4, 14, 16, 22, 65, 76gsummulc2 17451 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s )  |->  ( ( T `  M ) 
.X.  ( ( i 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) ) )  =  ( ( T `
 M )  .X.  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) ) ) )
7810matassa 19116 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  P  e.  CRing )  ->  Y  e. AssAlg )
7945, 78syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  Y  e. AssAlg )
80793adant3 1014 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  Y  e. AssAlg )
8180ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  Y  e. AssAlg )
828adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  Ring )
8382, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(mulGrp `  P )  e.  Mnd )
84833adant3 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
8584ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
8685, 33, 39, 42syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
i  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
8750ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  ( Base `  (Scalar `  Y
) )  =  (
Base `  P )
)
8886, 87eleqtrrd 2545 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
i  .^  X )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
8921ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  ( T `  M )  e.  ( Base `  Y
) )
901, 61, 63, 62, 4assaassr 18165 . . . . 5  |-  ( ( Y  e. AssAlg  /\  (
( i  .^  X
)  e.  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  /\  ( T `  M )  e.  (
Base `  Y )  /\  ( T `  (
b `  i )
)  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( ( T `
 M )  .X.  ( ( i  .^  X )  .x.  ( T `  ( b `  i ) ) ) )  =  ( ( i  .^  X )  .x.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )
9181, 88, 89, 60, 90syl13anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B
)  /\  ( s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  (
0 ... s ) ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
( T `  M
)  .X.  ( (
i  .^  X )  .x.  ( T `  (
b `  i )
) ) )  =  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) )
9291mpteq2dva 4525 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( i  e.  ( 0 ... s
)  |->  ( ( T `
 M )  .X.  ( ( i  .^  X )  .x.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0 ... s )  |->  ( ( i  .^  X
)  .x.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  (
b `  i )
) ) ) ) )
9392oveq2d 6286 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s )  |->  ( ( T `  M ) 
.X.  ( ( i 
.^  X )  .x.  ( T `  ( b `
 i ) ) ) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s )  |->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( ( T `  M )  .X.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) ) ) )
9477, 93eqtr3d 2497 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  (
s  e.  NN0  /\  b  e.  ( B  ^m  ( 0 ... s
) ) ) )  ->  ( ( T `
 M )  .X.  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  ( T `  ( b `  i ) ) ) ) ) )  =  ( Y  gsumg  ( i  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( ( i  .^  X )  .x.  (
( T `  M
)  .X.  ( T `  ( b `  i
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   finSupp cfsupp 7821   0cc0 9481   NN0cn0 10791   ...cfz 11675   Basecbs 14719   +g cplusg 14787   .rcmulr 14788  Scalarcsca 14790   .scvsca 14791   0gc0g 14932    gsumg cgsu 14933   Mndcmnd 16121  .gcmg 16258  mulGrpcmgp 17339   1rcur 17351   Ringcrg 17396   CRingccrg 17397   LModclmod 17710  AssAlgcasa 18156  var1cv1 18413  Poly1cpl1 18414   Mat cmat 19079   matToPolyMat cmat2pmat 19375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-hom 14811  df-cco 14812  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-prds 14940  df-pws 14942  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-ghm 16467  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-subrg 17625  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-sra 18016  df-rgmod 18017  df-assa 18159  df-ascl 18161  df-psr 18203  df-mvr 18204  df-mpl 18205  df-opsr 18207  df-psr1 18417  df-vr1 18418  df-ply1 18419  df-dsmm 18939  df-frlm 18954  df-mamu 19056  df-mat 19080  df-mat2pmat 19378
This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemF  19547
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