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Theorem cply1mul 18880
 Description: The product of two constant polynomials is a constant polynomial. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1mul.p Poly1
cply1mul.b
cply1mul.0
cply1mul.m
Assertion
Ref Expression
cply1mul coe1 coe1 coe1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem cply1mul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cply1mul.p . . . . . . . . . 10 Poly1
2 cply1mul.m . . . . . . . . . 10
3 eqid 2450 . . . . . . . . . 10
4 cply1mul.b . . . . . . . . . 10
51, 2, 3, 4coe1mul 18856 . . . . . . . . 9 coe1 g coe1coe1
653expb 1208 . . . . . . . 8 coe1 g coe1coe1
76adantr 467 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1 g coe1coe1
87adantr 467 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1 g coe1coe1
9 oveq2 6296 . . . . . . . . 9
10 oveq1 6295 . . . . . . . . . . 11
1110fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
1211oveq2d 6304 . . . . . . . . 9 coe1coe1 coe1coe1
139, 12mpteq12dv 4480 . . . . . . . 8 coe1coe1 coe1coe1
1413oveq2d 6304 . . . . . . 7 g coe1coe1 g coe1coe1
1514adantl 468 . . . . . 6 coe1 coe1 g coe1coe1 g coe1coe1
16 nnnn0 10873 . . . . . . 7
1716adantl 468 . . . . . 6 coe1 coe1
18 ovex 6316 . . . . . . 7 g coe1coe1
1918a1i 11 . . . . . 6 coe1 coe1 g coe1coe1
208, 15, 17, 19fvmptd 5952 . . . . 5 coe1 coe1 coe1 g coe1coe1
21 r19.26 2916 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1 coe1 coe1
22 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
23 nncn 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2423subid1d 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2524adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2622, 25sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27 simpll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2826, 27eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1 coe1
3029eqeq1d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1 coe1
3130rspcv 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 coe1
3228, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1 coe1
33 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1 coe1coe1 coe1
34 simpll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3635adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
37 elfznn0 11884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3837adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3938adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
40 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 coe1 coe1
41 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4240, 4, 1, 41coe1fvalcl 18798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 coe1
4336, 39, 42syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 coe1
44 cply1mul.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4541, 3, 44ringrz 17811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 coe1 coe1
4634, 43, 45syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1
4733, 46sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1 coe1coe1
4847ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1 coe1coe1
4948expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 coe1coe1
5049com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1 coe1coe1
5132, 50syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 coe1coe1
5251com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 coe1coe1
5352expd 438 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1coe1
5453com24 90 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 coe1coe1
5554adantl 468 . . . . . . . . . . . 12 coe1 coe1 coe1coe1
5655com13 83 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1 coe1coe1
57 df-ne 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5857biimpri 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5958, 37anim12ci 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
60 elnnne0 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6159, 60sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
62 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 coe1 coe1
6362eqeq1d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1 coe1
6463rspcv 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1 coe1
6561, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1 coe1
66 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 coe1 coe1coe1 coe1
67 simpll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
684eleq2i 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6968biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7069adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7170adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
72 fznn0sub 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
73 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 coe1 coe1
74 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7573, 74, 1, 41coe1fvalcl 18798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 coe1
7671, 72, 75syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 coe1
7741, 3, 44ringlz 17810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 coe1 coe1
7867, 76, 77syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 coe1
7966, 78sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 coe1 coe1coe1
8079ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 coe1 coe1coe1
8180ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 coe1 coe1coe1
8281com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 coe1 coe1coe1
8382a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1 coe1coe1
8483com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1 coe1coe1
8584adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1 coe1coe1
8665, 85syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 coe1coe1
8786com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1 coe1coe1
8887ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 coe1coe1
8988com14 91 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 coe1coe1
9089imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1coe1
9190com14 91 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 coe1coe1
9291adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 coe1 coe1 coe1coe1
9392com13 83 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1 coe1coe1
9456, 93pm2.61i 168 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1 coe1coe1
9521, 94syl5bi 221 . . . . . . . . 9 coe1 coe1 coe1coe1
9695imp 431 . . . . . . . 8 coe1 coe1 coe1coe1
9796impl 625 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1coe1
9897mpteq2dva 4488 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1coe1
9998oveq2d 6304 . . . . 5 coe1 coe1 g coe1coe1 g
100 ringmnd 17782 . . . . . . . . 9
101 ovex 6316 . . . . . . . . . 10
102101a1i 11 . . . . . . . . 9
10344gsumz 16614 . . . . . . . . 9 g
104100, 102, 103syl2anc 666 . . . . . . . 8 g
105104adantr 467 . . . . . . 7 g
106105adantr 467 . . . . . 6 coe1 coe1 g
107106adantr 467 . . . . 5 coe1 coe1 g
10820, 99, 1073eqtrd 2488 . . . 4 coe1 coe1 coe1
109108ralrimiva 2801 . . 3 coe1 coe1 coe1
110 fveq2 5863 . . . . 5 coe1 coe1
111110eqeq1d 2452 . . . 4 coe1 coe1
112111cbvralv 3018 . . 3 coe1 coe1
113109, 112sylibr 216 . 2 coe1 coe1 coe1
114113ex 436 1 coe1 coe1 coe1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 371   wceq 1443   wcel 1886   wne 2621  wral 2736  cvv 3044   cmpt 4460  cfv 5581  (class class class)co 6288  cc0 9536   cmin 9857  cn 10606  cn0 10866  cfz 11781  cbs 15114  cmulr 15184  c0g 15331   g cgsu 15332  cmnd 16528  crg 17773  Poly1cpl1 18763  coe1cco1 18764 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-tset 15202  df-ple 15203  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-mulg 16669  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-psr 18573  df-mpl 18575  df-opsr 18577  df-psr1 18766  df-ply1 18768  df-coe1 18769 This theorem is referenced by:  cpmatmcllem  19735
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