Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cply1coe0bi Structured version   Unicode version

Theorem cply1coe0bi 30978
 Description: A polynomial is constant (i.e. a "lifted scalar") iff all but the first coefficient are zero. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1coe0.k
cply1coe0.0
cply1coe0.p Poly1
cply1coe0.b
cply1coe0.a algSc
Assertion
Ref Expression
cply1coe0bi coe1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem cply1coe0bi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . . 8
21anim1i 568 . . . . . . 7
32adantr 465 . . . . . 6
4 cply1coe0.k . . . . . . 7
5 cply1coe0.0 . . . . . . 7
6 cply1coe0.p . . . . . . 7 Poly1
7 cply1coe0.b . . . . . . 7
8 cply1coe0.a . . . . . . 7 algSc
94, 5, 6, 7, 8cply1coe0 30977 . . . . . 6 coe1
103, 9syl 16 . . . . 5 coe1
11 fveq2 5775 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
1211fveq1d 5777 . . . . . . . 8 coe1 coe1
1312eqeq1d 2452 . . . . . . 7 coe1 coe1
1413ralbidv 2815 . . . . . 6 coe1 coe1
1514adantl 466 . . . . 5 coe1 coe1
1610, 15mpbird 232 . . . 4 coe1
1716ex 434 . . 3 coe1
1817rexlimdva 2923 . 2 coe1
19 simpr 461 . . . . . . 7
20 eqid 2450 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
216ply1rng 17796 . . . . . . . . . 10
226ply1lmod 17800 . . . . . . . . . 10
23 eqid 2450 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
248, 20, 21, 22, 23, 7asclf 17500 . . . . . . . . 9 Scalar
2524adantr 465 . . . . . . . 8 Scalar
26 0nn0 10681 . . . . . . . . . 10
27 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1
28 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11
2927, 7, 6, 28coe1fvalcl 30958 . . . . . . . . . 10 coe1
3019, 26, 29sylancl 662 . . . . . . . . 9 coe1
316ply1sca 17801 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
3231eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11 Scalar
3332fveq2d 5779 . . . . . . . . . 10 Scalar
3433adantr 465 . . . . . . . . 9 Scalar
3530, 34eleqtrrd 2539 . . . . . . . 8 coe1 Scalar
3625, 35ffvelrnd 5929 . . . . . . 7 coe1
371, 19, 363jca 1168 . . . . . 6 coe1
3837adantr 465 . . . . 5 coe1 coe1
39 simpr 461 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1
4027, 7, 6, 4coe1fvalcl 30958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1
4119, 26, 40sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1
426, 8, 4, 5coe1scl 17834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 coe1coe1 coe1
431, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1coe1 coe1
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1coe1 coe1
45 nnne0 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4645neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 eqeq1 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5049notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5248, 51mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15
53 iffalse 3883 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1
55 nnnn0 10673 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
57 fvex 5785 . . . . . . . . . . . . . . . 16
585, 57eqeltri 2532 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
6044, 54, 56, 59fvmptd 5864 . . . . . . . . . . . . 13 coe1coe1
6160eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . 12 coe1coe1
6261adantr 465 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1coe1
6339, 62eqtrd 2490 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1 coe1coe1
6463ex 434 . . . . . . . . 9 coe1 coe1 coe1coe1
6564ralimdva 2875 . . . . . . . 8 coe1 coe1 coe1coe1
6665imp 429 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1coe1
676, 8, 4ply1sclid 17835 . . . . . . . . 9 coe1 coe1 coe1coe1
681, 41, 67syl2anc 661 . . . . . . . 8 coe1 coe1coe1
6968adantr 465 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1coe1
7066, 69jca 532 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1coe1 coe1 coe1coe1
71 df-n0 10667 . . . . . . . 8
7271raleqi 3003 . . . . . . 7 coe1 coe1coe1 coe1 coe1coe1
73 c0ex 9467 . . . . . . . . 9
7473a1i 11 . . . . . . . 8 coe1
75 fveq2 5775 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
76 fveq2 5775 . . . . . . . . . 10 coe1coe1 coe1coe1
7775, 76eqeq12d 2471 . . . . . . . . 9 coe1 coe1coe1 coe1 coe1coe1
7877ralunsn 4163 . . . . . . . 8 coe1 coe1coe1 coe1 coe1coe1 coe1 coe1coe1
7974, 78syl 16 . . . . . . 7 coe1 coe1 coe1coe1 coe1 coe1coe1 coe1 coe1coe1
8072, 79syl5bb 257 . . . . . 6 coe1 coe1 coe1coe1 coe1 coe1coe1 coe1 coe1coe1
8170, 80mpbird 232 . . . . 5 coe1 coe1 coe1coe1
82 eqid 2450 . . . . . 6 coe1coe1 coe1coe1
836, 7, 27, 82eqcoe1ply1eq 30963 . . . . 5 coe1 coe1 coe1coe1 coe1
8438, 81, 83sylc 60 . . . 4 coe1 coe1
8541adantr 465 . . . . 5 coe1 coe1
86 fveq2 5775 . . . . . . 7 coe1 coe1
8786eqeq2d 2463 . . . . . 6 coe1 coe1
8887adantl 466 . . . . 5 coe1 coe1 coe1
8985, 88rspcedv 3159 . . . 4 coe1 coe1
9084, 89mpd 15 . . 3 coe1
9190ex 434 . 2 coe1
9218, 91impbid 191 1 coe1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1757  wral 2792  wrex 2793  cvv 3054   cun 3410  cif 3875  csn 3961   cmpt 4434  wf 5498  cfv 5502  cc0 9369  cn 10409  cn0 10666  cbs 14262  Scalarcsca 14329  c0g 14466  crg 16737  algSccascl 17475  Poly1cpl1 17726  coe1cco1 17727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-ofr 6407  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-oi 7811  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-tset 14345  df-ple 14346  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-mhm 15552  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-sbg 15635  df-mulg 15636  df-subg 15766  df-ghm 15833  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-srg 16699  df-rng 16739  df-subrg 16955  df-lmod 17042  df-lss 17106  df-ascl 17478  df-psr 17515  df-mvr 17516  df-mpl 17517  df-opsr 17519  df-psr1 17729  df-vr1 17730  df-ply1 17731  df-coe1 17732 This theorem is referenced by:  cpmatel2  31162
 Copyright terms: Public domain W3C validator