Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cply1coe0 Structured version   Unicode version

Theorem cply1coe0 31004
Description: All but the first coefficient of a constant polynomial ( i.e. a "lifted scalar") are zero. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1coe0.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
cply1coe0.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
cply1coe0.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cply1coe0.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
cply1coe0.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
cply1coe0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  ->  A. n  e.  NN  ( (coe1 `  ( A `  S )
) `  n )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    n, K    R, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    P( n)    .0. ( n)

Proof of Theorem cply1coe0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cply1coe0.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 cply1coe0.a . . . . 5  |-  A  =  (algSc `  P )
3 cply1coe0.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 cply1coe0.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
51, 2, 3, 4coe1scl 17865 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  ->  (coe1 `  ( A `  S ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  S ,  .0.  )
) )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  /\  n  e.  NN )  ->  (coe1 `  ( A `  S ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  S ,  .0.  ) ) )
7 nnne0 10466 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
87neneqd 2655 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  -.  n  =  0 )
98adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  n  = 
0 )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  e.  K
)  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  -.  n  =  0 )
11 eqeq1 2458 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
k  =  0  <->  n  =  0 ) )
1211notbid 294 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( -.  k  =  0  <->  -.  n  =  0 ) )
1312adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  e.  K
)  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( -.  k  =  0  <->  -.  n  =  0 ) )
1410, 13mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  e.  K
)  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  -.  k  =  0 )
15 iffalse 3908 . . . 4  |-  ( -.  k  =  0  ->  if ( k  =  0 ,  S ,  .0.  )  =  .0.  )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  e.  K
)  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  if ( k  =  0 ,  S ,  .0.  )  =  .0.  )
17 nnnn0 10698 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
1817adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN0 )
19 fvex 5810 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
204, 19eqeltri 2538 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
2120a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  /\  n  e.  NN )  ->  .0.  e.  _V )
226, 16, 18, 21fvmptd 5889 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  /\  n  e.  NN )  ->  ( (coe1 `  ( A `  S )
) `  n )  =  .0.  )
2322ralrimiva 2830 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  ->  A. n  e.  NN  ( (coe1 `  ( A `  S )
) `  n )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   ifcif 3900    |-> cmpt 4459   ` cfv 5527   0cc0 9394   NNcn 10434   NN0cn0 10691   Basecbs 14293   0gc0g 14498   Ringcrg 16769  algSccascl 17507  Poly1cpl1 17758  coe1cco1 17759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-ofr 6432  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-hash 12222  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-tset 14377  df-ple 14378  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-subrg 16987  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-ascl 17510  df-psr 17547  df-mvr 17548  df-mpl 17549  df-opsr 17551  df-psr1 17761  df-vr1 17762  df-ply1 17763  df-coe1 17764
This theorem is referenced by:  cply1coe0bi  31005  1elcpmat  31205
  Copyright terms: Public domain W3C validator