MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cply1coe0 Structured version   Unicode version

Theorem cply1coe0 18477
Description: All but the first coefficient of a constant polynomial ( i.e. a "lifted scalar") are zero. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1coe0.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
cply1coe0.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
cply1coe0.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cply1coe0.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
cply1coe0.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
cply1coe0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  ->  A. n  e.  NN  ( (coe1 `  ( A `  S )
) `  n )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    n, K    R, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    P( n)    .0. ( n)

Proof of Theorem cply1coe0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cply1coe0.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 cply1coe0.a . . . . 5  |-  A  =  (algSc `  P )
3 cply1coe0.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 cply1coe0.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
51, 2, 3, 4coe1scl 18464 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  ->  (coe1 `  ( A `  S ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  S ,  .0.  )
) )
65adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  /\  n  e.  NN )  ->  (coe1 `  ( A `  S ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  S ,  .0.  ) ) )
7 nnne0 10507 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
87neneqd 2598 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  -.  n  =  0 )
98adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  n  = 
0 )
109adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  e.  K
)  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  -.  n  =  0 )
11 eqeq1 2400 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
k  =  0  <->  n  =  0 ) )
1211notbid 292 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( -.  k  =  0  <->  -.  n  =  0 ) )
1312adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  e.  K
)  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( -.  k  =  0  <->  -.  n  =  0 ) )
1410, 13mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  e.  K
)  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  -.  k  =  0 )
1514iffalsed 3885 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  S  e.  K
)  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  if ( k  =  0 ,  S ,  .0.  )  =  .0.  )
16 nnnn0 10741 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
1716adantl 464 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN0 )
18 fvex 5801 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
194, 18eqeltri 2480 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  /\  n  e.  NN )  ->  .0.  e.  _V )
216, 15, 17, 20fvmptd 5879 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  /\  n  e.  NN )  ->  ( (coe1 `  ( A `  S )
) `  n )  =  .0.  )
2221ralrimiva 2810 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  K )  ->  A. n  e.  NN  ( (coe1 `  ( A `  S )
) `  n )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   A.wral 2746   _Vcvv 3051   ifcif 3874    |-> cmpt 4442   ` cfv 5513   0cc0 9425   NNcn 10474   NN0cn0 10734   Basecbs 14657   0gc0g 14870   Ringcrg 17334  algSccascl 18096  Poly1cpl1 18352  coe1cco1 18353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-ofr 6462  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-supp 6840  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-2o 7071  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-pm 7363  df-ixp 7411  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fsupp 7767  df-oi 7872  df-card 8255  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-fz 11616  df-fzo 11740  df-seq 12034  df-hash 12331  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-sca 14741  df-vsca 14742  df-tset 14744  df-ple 14745  df-0g 14872  df-gsum 14873  df-mre 15016  df-mrc 15017  df-acs 15019  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-mhm 16106  df-submnd 16107  df-grp 16197  df-minusg 16198  df-sbg 16199  df-mulg 16200  df-subg 16338  df-ghm 16405  df-cntz 16495  df-cmn 16940  df-abl 16941  df-mgp 17278  df-ur 17290  df-ring 17336  df-subrg 17563  df-lmod 17650  df-lss 17715  df-ascl 18099  df-psr 18141  df-mvr 18142  df-mpl 18143  df-opsr 18145  df-psr1 18355  df-vr1 18356  df-ply1 18357  df-coe1 18358
This theorem is referenced by:  cply1coe0bi  18478  1elcpmat  19324
  Copyright terms: Public domain W3C validator