Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cplgr0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cplgr0 39657
Description: The null graph (with no vertices and no edges) represented by the empty set is a complete graph. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
cplgr0  |-  (/)  e. ComplGraph

Proof of Theorem cplgr0
StepHypRef Expression
1 ral0 3865 . . 3  |-  A. v  e.  (/)  v  e.  (UnivVtx `  (/) )
2 vtxval0 39292 . . . 4  |-  (Vtx `  (/) )  =  (/)
32raleqi 2977 . . 3  |-  ( A. v  e.  (Vtx `  (/) ) v  e.  (UnivVtx `  (/) )  <->  A. v  e.  (/)  v  e.  (UnivVtx `  (/) ) )
41, 3mpbir 214 . 2  |-  A. v  e.  (Vtx `  (/) ) v  e.  (UnivVtx `  (/) )
5 0ex 4528 . . 3  |-  (/)  e.  _V
6 eqid 2471 . . . 4  |-  (Vtx `  (/) )  =  (Vtx `  (/) )
76iscplgr 39646 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e. ComplGraph  <->  A. v  e.  (Vtx `  (/) ) v  e.  (UnivVtx `  (/) ) ) )
85, 7ax-mp 5 . 2  |-  ( (/)  e. ComplGraph  <->  A. v  e.  (Vtx `  (/) ) v  e.  (UnivVtx `  (/) ) )
94, 8mpbir 214 1  |-  (/)  e. ComplGraph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   ` cfv 5589  Vtxcvtx 39251  UnivVtxcuvtxa 39562  ComplGraphccplgr 39563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-slot 15203  df-base 15204  df-vtx 39253  df-cplgr 39568
This theorem is referenced by:  cusgr0  39658
  Copyright terms: Public domain W3C validator