MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplem2 Structured version   Unicode version

Theorem cplem2 8351
Description: -Lemma for the Collection Principle cp 8352. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
cplem2.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
cplem2  |-  E. y A. x  e.  A  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  y )  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, B
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem cplem2
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2420 . . 3  |-  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w ) }  =  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w ) }
2 eqid 2420 . . 3  |-  U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w ) }  =  U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w ) }
31, 2cplem1 8350 . 2  |-  A. x  e.  A  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w
) } )  =/=  (/) )
4 cplem2.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
5 scottex 8346 . . . 4  |-  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w ) }  e.  _V
64, 5iunex 6778 . . 3  |-  U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w ) }  e.  _V
7 nfiu1 4323 . . . . 5  |-  F/_ x U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w
) }
87nfeq2 2599 . . . 4  |-  F/ x  y  =  U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w ) }
9 ineq2 3655 . . . . . 6  |-  ( y  =  U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w ) }  ->  ( B  i^i  y )  =  ( B  i^i  U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w ) } ) )
109neeq1d 2699 . . . . 5  |-  ( y  =  U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w ) }  ->  ( ( B  i^i  y )  =/=  (/) 
<->  ( B  i^i  U_ x  e.  A  {
z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w
) } )  =/=  (/) ) )
1110imbi2d 317 . . . 4  |-  ( y  =  U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w ) }  ->  ( ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  y )  =/=  (/) )  <->  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w
) } )  =/=  (/) ) ) )
128, 11ralbid 2857 . . 3  |-  ( y  =  U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w ) }  ->  ( A. x  e.  A  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  y )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  A  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w
) } )  =/=  (/) ) ) )
136, 12spcev 3170 . 2  |-  ( A. x  e.  A  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  U_ x  e.  A  { z  e.  B  |  A. w  e.  B  ( rank `  z )  C_  ( rank `  w
) } )  =/=  (/) )  ->  E. y A. x  e.  A  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  y )  =/=  (/) ) )
143, 13ax-mp 5 1  |-  E. y A. x  e.  A  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  y )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   {crab 2777   _Vcvv 3078    i^i cin 3432    C_ wss 3433   (/)c0 3758   U_ciun 4293   ` cfv 5592   rankcrnk 8224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-reg 8098  ax-inf2 8137
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-r1 8225  df-rank 8226
This theorem is referenced by:  cp  8352
  Copyright terms: Public domain W3C validator