MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplem1 Structured version   Unicode version

Theorem cplem1 8317
Description: Lemma for the Collection Principle cp 8319. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
cplem1.1  |-  C  =  { y  e.  B  |  A. z  e.  B  ( rank `  y )  C_  ( rank `  z
) }
cplem1.2  |-  D  = 
U_ x  e.  A  C
Assertion
Ref Expression
cplem1  |-  A. x  e.  A  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, B, z
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x, y, z)    D( x, y, z)

Proof of Theorem cplem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scott0 8314 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  <->  { y  e.  B  |  A. z  e.  B  ( rank `  y )  C_  ( rank `  z
) }  =  (/) )
2 cplem1.1 . . . . . . 7  |-  C  =  { y  e.  B  |  A. z  e.  B  ( rank `  y )  C_  ( rank `  z
) }
32eqeq1i 2474 . . . . . 6  |-  ( C  =  (/)  <->  { y  e.  B  |  A. z  e.  B  ( rank `  y )  C_  ( rank `  z
) }  =  (/) )
41, 3bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  <->  C  =  (/) )
54necon3bii 2735 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  <->  C  =/=  (/) )
6 n0 3799 . . . 4  |-  ( C  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  C )
75, 6bitri 249 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  C )
8 ssrab2 3590 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  B  |  A. z  e.  B  ( rank `  y )  C_  ( rank `  z ) }  C_  B
92, 8eqsstri 3539 . . . . . . . 8  |-  C  C_  B
109sseli 3505 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  C  ->  w  e.  B )
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
w  e.  C  ->  w  e.  B )
)
12 ssiun2 4373 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  C  C_ 
U_ x  e.  A  C )
13 cplem1.2 . . . . . . . 8  |-  D  = 
U_ x  e.  A  C
1412, 13syl6sseqr 3556 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  C  C_  D )
1514sseld 3508 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
w  e.  C  ->  w  e.  D )
)
1611, 15jcad 533 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
w  e.  C  -> 
( w  e.  B  /\  w  e.  D
) ) )
17 inelcm 3886 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  B  /\  w  e.  D )  ->  ( B  i^i  D
)  =/=  (/) )
1816, 17syl6 33 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
w  e.  C  -> 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) ) )
1918exlimdv 1700 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. w  w  e.  C  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) )
207, 19syl5bi 217 . 2  |-  ( x  e.  A  ->  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) )
2120rgen 2827 1  |-  A. x  e.  A  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   {crab 2821    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   U_ciun 4330   ` cfv 5593   rankcrnk 8191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6695  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-r1 8192  df-rank 8193
This theorem is referenced by:  cplem2  8318
  Copyright terms: Public domain W3C validator