Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubrglem Structured version   Unicode version

Theorem cphsubrglem 22048
 Description: Lemma for cphsubrg 22051. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k
cphsubrglem.1 flds
cphsubrglem.2
Assertion
Ref Expression
cphsubrglem flds SubRingfld

Proof of Theorem cphsubrglem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.1 . . 3 flds
2 cphsubrglem.k . . . . . 6
31fveq2d 5885 . . . . . . 7 flds
4 cphsubrglem.2 . . . . . . . . . . . 12
5 drngring 17917 . . . . . . . . . . . 12
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11
71, 6eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . 10 flds
8 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11 flds flds
9 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11 flds flds
108, 9ring0cl 17737 . . . . . . . . . 10 flds flds flds
11 reldmress 15137 . . . . . . . . . . 11 s
12 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11 flds flds
1311, 12, 8elbasov 15134 . . . . . . . . . 10 flds flds fld
147, 10, 133syl 18 . . . . . . . . 9 fld
1514simprd 464 . . . . . . . 8
16 cnfldbas 18909 . . . . . . . . 9 fld
1712, 16ressbas 15141 . . . . . . . 8 flds
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 flds
193, 18eqtr4d 2473 . . . . . 6
202, 19syl5eq 2482 . . . . 5
2120oveq2d 6321 . . . 4 flds flds
2216ressinbas 15147 . . . . 5 flds flds
2315, 22syl 17 . . . 4 flds flds
2421, 23eqtr4d 2473 . . 3 flds flds
251, 24eqtr4d 2473 . 2 flds
2625, 6eqeltrrd 2518 . . . 4 flds
27 cnring 18925 . . . 4 fld
2826, 27jctil 539 . . 3 fld flds
2912, 16ressbasss 15143 . . . . . 6 flds
303, 29syl6eqss 3520 . . . . 5
312, 30syl5eqss 3514 . . . 4
32 eqid 2429 . . . . . . . . . 10
33 eqid 2429 . . . . . . . . . 10
3432, 33drngunz 17925 . . . . . . . . 9
354, 34syl 17 . . . . . . . 8
3625fveq2d 5885 . . . . . . . . 9 flds
37 ringgrp 17720 . . . . . . . . . . . 12 fld fld
3827, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 fld
39 ringgrp 17720 . . . . . . . . . . . 12 flds flds
4026, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 flds
4116issubg 16768 . . . . . . . . . . 11 SubGrpfld fld flds
4238, 31, 40, 41syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . 10 SubGrpfld
43 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11 flds flds
44 cnfld0 18927 . . . . . . . . . . 11 fld
4543, 44subg0 16774 . . . . . . . . . 10 SubGrpfld flds
4642, 45syl 17 . . . . . . . . 9 flds
4736, 46eqtr4d 2473 . . . . . . . 8
4835, 47neeqtrd 2726 . . . . . . 7
4948neneqd 2632 . . . . . 6
502, 33ringidcl 17736 . . . . . . . . . . . 12
516, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11
5231, 51sseldd 3471 . . . . . . . . . 10
5352sqvald 12410 . . . . . . . . 9
5425fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10 flds
5554oveq1d 6320 . . . . . . . . 9 flds
5625fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12 flds
572, 56syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11 flds
5851, 57eleqtrd 2519 . . . . . . . . . 10 flds
59 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11 flds flds
60 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . 13
612, 60eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . 12
62 cnfldmul 18911 . . . . . . . . . . . . 13 fld
6343, 62ressmulr 15209 . . . . . . . . . . . 12 flds
6461, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 flds
65 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11 flds flds
6659, 64, 65ringlidm 17739 . . . . . . . . . 10 flds flds flds
6726, 58, 66syl2anc 665 . . . . . . . . 9 flds
6853, 55, 673eqtrd 2474 . . . . . . . 8
69 sq01 12391 . . . . . . . . 9
7052, 69syl 17 . . . . . . . 8
7168, 70mpbid 213 . . . . . . 7
7271ord 378 . . . . . 6
7349, 72mpd 15 . . . . 5
7473, 51eqeltrrd 2518 . . . 4
7531, 74jca 534 . . 3
76 cnfld1 18928 . . . 4 fld
7716, 76issubrg 17943 . . 3 SubRingfld fld flds
7828, 75, 77sylanbrc 668 . 2 SubRingfld
7925, 20, 783jca 1185 1 flds SubRingfld
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  cvv 3087   cin 3441   wss 3442  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  cc0 9538  c1 9539   cmul 9543  c2 10659  cexp 12269  cbs 15084   ↾s cress 15085  cmulr 15153  c0g 15297  cgrp 16620  SubGrpcsubg 16762  cur 17670  crg 17715  cdr 17910  SubRingcsubrg 17939  ℂfldccnfld 18905 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-subg 16765  df-cmn 17367  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-cnfld 18906 This theorem is referenced by:  cphreccllem  22049  cphsubrg  22051  tchclm  22099  tchcph  22104
 Copyright terms: Public domain W3C validator