MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubdir Structured version   Unicode version

Theorem cphsubdir 21384
Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ipsubdir 18439. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphsubdir.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
Assertion
Ref Expression
cphsubdir  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .-  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
)  -  ( B 
.,  C ) ) )

Proof of Theorem cphsubdir
StepHypRef Expression
1 cphphl 21348 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
2 eqid 2462 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
4 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 cphsubdir.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
6 eqid 2462 . . . 4  |-  ( -g `  (Scalar `  W )
)  =  ( -g `  (Scalar `  W )
)
72, 3, 4, 5, 6ipsubdir 18439 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .-  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
) ( -g `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
81, 7sylan 471 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .-  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
) ( -g `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
9 cphclm 21366 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  W  e. CMod )
111adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  W  e.  PreHil )
12 simpr1 997 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  A  e.  V )
13 simpr3 999 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  C  e.  V )
14 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
152, 3, 4, 14ipcl 18430 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  .,  C )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
1611, 12, 13, 15syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( A  .,  C )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
17 simpr2 998 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  B  e.  V )
182, 3, 4, 14ipcl 18430 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( B  .,  C )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
1911, 17, 13, 18syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  C )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
202, 14clmsub 21310 . . 3  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( A  .,  C )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( B  .,  C )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( ( A 
.,  C )  -  ( B  .,  C ) )  =  ( ( A  .,  C ) ( -g `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
2110, 16, 19, 20syl3anc 1223 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .,  C )  -  ( B  .,  C ) )  =  ( ( A  .,  C ) ( -g `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
228, 21eqtr4d 2506 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .-  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
)  -  ( B 
.,  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    - cmin 9796   Basecbs 14481  Scalarcsca 14549   .icip 14551   -gcsg 15721   PreHilcphl 18421  CModcclm 21292   CPreHilccph 21343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-fz 11664  df-seq 12066  df-exp 12125  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-cmn 16591  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-drng 17176  df-subrg 17205  df-lmod 17292  df-lmhm 17446  df-lvec 17527  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-cnfld 18187  df-phl 18423  df-nlm 20837  df-clm 21293  df-cph 21345
This theorem is referenced by:  ipcnlem2  21414  pjthlem1  21582
  Copyright terms: Public domain W3C validator