Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrcl2 Structured version   Unicode version

Theorem cphsqrcl2 21363
 Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under square roots of all numbers except possibly the negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f Scalar
cphsca.k
Assertion
Ref Expression
cphsqrcl2

Proof of Theorem cphsqrcl2
StepHypRef Expression
1 sqr0 13027 . . . . 5
2 fveq2 5859 . . . . 5
3 id 22 . . . . 5
41, 2, 33eqtr4a 2529 . . . 4
6 simpl2 995 . . 3
75, 6eqeltrd 2550 . 2
8 simpl1 994 . . . . . . 7
9 cphsca.f . . . . . . . 8 Scalar
10 cphsca.k . . . . . . . 8
119, 10cphsubrg 21357 . . . . . . 7 SubRingfld
128, 11syl 16 . . . . . 6 SubRingfld
13 cnfldbas 18190 . . . . . . 7 fld
1413subrgss 17208 . . . . . 6 SubRingfld
1512, 14syl 16 . . . . 5
16 simpl2 995 . . . . . . . 8
179, 10cphabscl 21362 . . . . . . . 8
188, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . 7
1915, 16sseldd 3500 . . . . . . . 8
2019abscld 13218 . . . . . . 7
2119absge0d 13226 . . . . . . 7
229, 10cphsqrcl 21361 . . . . . . 7
238, 18, 20, 21, 22syl13anc 1225 . . . . . 6
24 cnfldadd 18191 . . . . . . . . 9 fld
2524subrgacl 17218 . . . . . . . 8 SubRingfld
2612, 18, 16, 25syl3anc 1223 . . . . . . 7
279, 10cphabscl 21362 . . . . . . . 8
288, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . 7
2915, 26sseldd 3500 . . . . . . . 8
30 simpl3 996 . . . . . . . . 9
3120recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . 14
3231, 19subnegd 9928 . . . . . . . . . . . . 13
3332eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . 12
3419negcld 9908 . . . . . . . . . . . . 13
3531, 34subeq0ad 9931 . . . . . . . . . . . 12
3633, 35bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11
37 absrpcl 13073 . . . . . . . . . . . . 13
3819, 37sylancom 667 . . . . . . . . . . . 12
39 eleq1 2534 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . 11
4136, 40sylbid 215 . . . . . . . . . 10
4241necon3bd 2674 . . . . . . . . 9
4330, 42mpd 15 . . . . . . . 8
4429, 43absne0d 13229 . . . . . . 7
459, 10cphdivcl 21359 . . . . . . 7
468, 26, 28, 44, 45syl13anc 1225 . . . . . 6
47 cnfldmul 18192 . . . . . . 7 fld
4847subrgmcl 17219 . . . . . 6 SubRingfld
4912, 23, 46, 48syl3anc 1223 . . . . 5
5015, 49sseldd 3500 . . . 4
51 eqid 2462 . . . . . . 7
5251sqreulem 13143 . . . . . 6
5319, 43, 52syl2anc 661 . . . . 5
5453simp1d 1003 . . . 4
5553simp2d 1004 . . . 4
5653simp3d 1005 . . . . 5
57 df-nel 2660 . . . . 5
5856, 57sylib 196 . . . 4
5950, 19, 54, 55, 58eqsqrd 13151 . . 3
6059, 49eqeltrrd 2551 . 2
617, 60pm2.61dane 2780 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   w3a 968   wceq 1374   wcel 1762   wne 2657   wnel 2658   wss 3471   class class class wbr 4442  cfv 5581  (class class class)co 6277  cc 9481  cr 9482  cc0 9483  ci 9485   caddc 9486   cmul 9488   cle 9620   cmin 9796  cneg 9797   cdiv 10197  c2 10576  crp 11211  cexp 12124  cre 12882  csqr 13018  cabs 13019  cbs 14481  Scalarcsca 14549  SubRingcsubrg 17203  ℂfldccnfld 18186  ccph 21343 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-rp 11212  df-ico 11526  df-fz 11664  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-cmn 16591  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-dvr 17111  df-rnghom 17143  df-drng 17176  df-subrg 17205  df-staf 17272  df-srng 17273  df-lvec 17527  df-cnfld 18187  df-phl 18423  df-cph 21345 This theorem is referenced by:  cphsqrcl3  21364
 Copyright terms: Public domain W3C validator