MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrcl Structured version   Unicode version

Theorem cphsqrcl 20830
Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under square roots of positive reals (i.e. it is quadratically closed relative to  RR). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphsca.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cphsqrcl  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( sqr `  A
)  e.  K )

Proof of Theorem cphsqrcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  K )
2 elrege0 11504 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
32biimpri 206 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
433adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
51, 4elind 3643 . . 3  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  ( K  i^i  (
0 [,) +oo )
) )
6 sqrf 12964 . . . . 5  |-  sqr : CC
--> CC
7 ffn 5662 . . . . 5  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  sqr 
Fn  CC )
86, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  sqr  Fn  CC
9 inss2 3674 . . . . 5  |-  ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  C_  (
0 [,) +oo )
10 0re 9492 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
11 pnfxr 11198 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
12 icossre 11482 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
1310, 11, 12mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
14 ax-resscn 9445 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1513, 14sstri 3468 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
169, 15sstri 3468 . . . 4  |-  ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  C_  CC
17 fnfvima 6059 . . . 4  |-  ( ( sqr  Fn  CC  /\  ( K  i^i  (
0 [,) +oo )
)  C_  CC  /\  A  e.  ( K  i^i  (
0 [,) +oo )
) )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
188, 16, 17mp3an12 1305 . . 3  |-  ( A  e.  ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
195, 18syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
20 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
22 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
23 cphsca.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
24 cphsca.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
2520, 21, 22, 23, 24iscph 20816 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil 
<->  ( ( W  e. 
PreHil  /\  W  e. NrmMod  /\  F  =  (flds  K ) )  /\  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) )  C_  K  /\  ( norm `  W
)  =  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( sqr `  (
x ( .i `  W ) x ) ) ) ) )
2625simp2bi 1004 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) )  C_  K )
2726sselda 3459 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( sqr `  A )  e.  ( sqr " ( K  i^i  ( 0 [,) +oo ) ) ) )  ->  ( sqr `  A
)  e.  K )
2819, 27sylan2 474 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( sqr `  A
)  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3430    C_ wss 3431   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   "cima 4946    Fn wfn 5516   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   +oocpnf 9521   RR*cxr 9523    <_ cle 9525   [,)cico 11408   sqrcsqr 12835   Basecbs 14287   ↾s cress 14288  Scalarcsca 14355   .icip 14357  ℂfldccnfld 17938   PreHilcphl 18173   normcnm 20296  NrmModcnlm 20300   CPreHilccph 20812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-ico 11412  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-cph 20814
This theorem is referenced by:  cphabscl  20831  cphsqrcl2  20832  cphsqrcl3  20833  cphnmf  20841  ipcau  20880
  Copyright terms: Public domain W3C validator