Theorem cphqss 22214

Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space contains all rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	|- F = (Scalar ` W )
cphsca.k	|- K = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
cphqss	|- ( W e. CPreHil -> QQ C_ K )

Proof of Theorem cphqss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsca.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
2		cphsca.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
3	1, 2	cphsubrg 22206	. 2 |- ( W e. CPreHil -> K e. (SubRing ` ℂfld ) )
4	1, 2	cphsca 22205	. . 3 |- ( W e. CPreHil -> F = (ℂfld ↾s K ) )
5		cphlvec 22201	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> W e. LVec )
6	1	lvecdrng 18376	. . . 4 |- ( W e. LVec -> F e. DivRing )
7	5, 6	syl 17	. . 3 |- ( W e. CPreHil -> F e. DivRing )
8	4, 7	eqeltrrd 2540	. 2 |- ( W e. CPreHil -> (ℂfld ↾s K ) e. DivRing )
9		qsssubdrg 19075	. 2 |- ( ( K e. (SubRing ` ℂfld ) /\ (ℂfld ↾s K ) e. DivRing ) -> QQ C_ K )
10	3, 8, 9	syl2anc 671	1 |- ( W e. CPreHil -> QQ C_ K )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1454   e. wcel 1897   C_ wss 3415   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   QQcq 11292   Basecbs 15169   ↾_s cress 15170  Scalarcsca 15241   DivRingcdr 18023  SubRingcsubrg 18052   LVecclvec 18373  ℂ_fldccnfld 19018   CPreHilccph 22192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-addf 9643  ax-mulf 9644

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-tpos 6998  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-fz 11813  df-seq 12245  df-exp 12304  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-0g 15388  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-mulg 16724  df-subg 16862  df-cmn 17480  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-cring 17831  df-oppr 17899  df-dvdsr 17917  df-unit 17918  df-invr 17948  df-dvr 17959  df-drng 18025  df-subrg 18054  df-lvec 18374  df-cnfld 19019  df-phl 19241  df-cph 22194

This theorem is referenced by: (None)