MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphorthcom Structured version   Unicode version

Theorem cphorthcom 20717
Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. Complex version of iporthcom 18062. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
cphorthcom  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  0  <->  ( B  .,  A )  =  0 ) )

Proof of Theorem cphorthcom
StepHypRef Expression
1 cphphl 20688 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
2 eqid 2441 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
4 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2441 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
62, 3, 4, 5iporthcom 18062 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( B  .,  A )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
71, 6syl3an1 1251 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( B  .,  A )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
8 cphclm 20706 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
92clm0 20642 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
11103ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
1211eqeq2d 2452 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  0  <->  ( A  .,  B )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
1311eqeq2d 2452 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( B  .,  A
)  =  0  <->  ( B  .,  A )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
147, 12, 133bitr4d 285 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  0  <->  ( B  .,  A )  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   0cc0 9280   Basecbs 14172  Scalarcsca 14239   .icip 14241   0gc0g 14376   PreHilcphl 18051  CModcclm 20632   CPreHilccph 20683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-fz 11436  df-seq 11805  df-exp 11864  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-grp 15543  df-subg 15676  df-ghm 15743  df-cmn 16277  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-rnghom 16804  df-drng 16832  df-subrg 16861  df-staf 16928  df-srng 16929  df-lmod 16948  df-lmhm 17101  df-lvec 17182  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-cnfld 17817  df-phl 18053  df-nlm 20177  df-clm 20633  df-cph 20685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator