MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphnmvs Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cphnmvs 22216
Description: Norm of a scalar product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphnmvs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphnmvs.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
cphnmvs.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
cphnmvs.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphnmvs.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cphnmvs  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( abs `  X
)  x.  ( N `
 Y ) ) )

Proof of Theorem cphnmvs
StepHypRef Expression
1 cphnlm 22198 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
2 cphnmvs.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 cphnmvs.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  W
)
4 cphnmvs.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 cphnmvs.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
6 cphnmvs.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
7 eqid 2461 . . . 4  |-  ( norm `  F )  =  (
norm `  F )
82, 3, 4, 5, 6, 7nmvs 21727 . . 3  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( norm `  F ) `  X
)  x.  ( N `
 Y ) ) )
91, 8syl3an1 1309 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( ( norm `  F ) `  X
)  x.  ( N `
 Y ) ) )
10 cphclm 22215 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
115, 6clmabs 22161 . . . . 5  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  K )  ->  ( abs `  X )  =  ( ( norm `  F
) `  X )
)
1210, 11sylan 478 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  K )  ->  ( abs `  X )  =  ( ( norm `  F
) `  X )
)
13123adant3 1034 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  X )  =  ( ( norm `  F
) `  X )
)
1413oveq1d 6329 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  (
( abs `  X
)  x.  ( N `
 Y ) )  =  ( ( (
norm `  F ) `  X )  x.  ( N `  Y )
) )
159, 14eqtr4d 2498 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( ( abs `  X
)  x.  ( N `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    x. cmul 9569   abscabs 13345   Basecbs 15169  Scalarcsca 15241   .scvsca 15242   normcnm 21639  NrmModcnlm 21643  CModcclm 22141   CPreHilccph 22192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-tpos 6998  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-rp 11331  df-fz 11813  df-seq 12245  df-exp 12304  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-0g 15388  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-grp 16721  df-subg 16862  df-cmn 17480  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-cring 17831  df-oppr 17899  df-dvdsr 17917  df-unit 17918  df-drng 18025  df-subrg 18054  df-lvec 18374  df-cnfld 19019  df-phl 19241  df-nm 21645  df-nlm 21649  df-clm 22142  df-cph 22194
This theorem is referenced by:  minveclem2  22416  minveclem2OLD  22428
  Copyright terms: Public domain W3C validator