MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphnmf Structured version   Unicode version

Theorem cphnmf 21824
Description: The norm of a vector is a member of the scalar field in a complex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmsq.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nmsq.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
nmsq.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
cphnmcl.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphnmcl.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cphnmf  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  N : V --> K )

Proof of Theorem cphnmf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  CPreHil )
2 cphphl 21800 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
32adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  PreHil )
4 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
5 cphnmcl.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
6 nmsq.h . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i `  W )
7 nmsq.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 cphnmcl.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
95, 6, 7, 8ipcl 18856 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  (
x  .,  x )  e.  K )
103, 4, 4, 9syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  (
x  .,  x )  e.  K )
11 nmsq.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  W
)
127, 6, 11nmsq 21823 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  (
( N `  x
) ^ 2 )  =  ( x  .,  x ) )
13 cphngp 21802 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
147, 11nmcl 21317 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  ->  ( N `  x )  e.  RR )
1513, 14sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  ( N `  x )  e.  RR )
1615resqcld 12288 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  (
( N `  x
) ^ 2 )  e.  RR )
1712, 16eqeltrrd 2489 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  (
x  .,  x )  e.  RR )
1815sqge0d 12289 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( ( N `  x ) ^ 2 ) )
1918, 12breqtrd 4416 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
205, 8cphsqrtcl 21813 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
( x  .,  x
)  e.  K  /\  ( x  .,  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( x  .,  x
) ) )  -> 
( sqr `  (
x  .,  x )
)  e.  K )
211, 10, 17, 19, 20syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  ( sqr `  ( x  .,  x ) )  e.  K )
22 eqid 2400 . . 3  |-  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x  .,  x
) ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) )
2321, 22fmptd 5987 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) : V --> K )
247, 6, 11cphnmfval 21821 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  N  =  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  ( x 
.,  x ) ) ) )
2524feq1d 5654 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( N : V
--> K  <->  ( x  e.  V  |->  ( sqr `  (
x  .,  x )
) ) : V --> K ) )
2623, 25mpbird 232 1  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  N : V --> K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   RRcr 9439   0cc0 9440    <_ cle 9577   2c2 10544   ^cexp 12118   sqrcsqrt 13120   Basecbs 14731  Scalarcsca 14802   .icip 14804   PreHilcphl 18847   normcnm 21279  NrmGrpcngp 21280   CPreHilccph 21795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-tpos 6910  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ico 11504  df-fz 11642  df-seq 12060  df-exp 12119  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-0g 14946  df-topgen 14948  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-subg 16412  df-ghm 16479  df-cmn 17014  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-cring 17411  df-oppr 17482  df-dvdsr 17500  df-unit 17501  df-drng 17608  df-subrg 17637  df-lmhm 17878  df-lvec 17959  df-sra 18028  df-rgmod 18029  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-cnfld 18631  df-phl 18849  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-xms 21005  df-ms 21006  df-nm 21285  df-ngp 21286  df-nlm 21289  df-cph 21797
This theorem is referenced by:  cphnmcl  21825
  Copyright terms: Public domain W3C validator