Theorem cphlmod 22207

Description: A complex pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphlmod	|- ( W e. CPreHil -> W e. LMod )

Proof of Theorem cphlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 22205	. 2 |- ( W e. CPreHil -> W e. NrmMod )
2		nlmlmod 21736	. 2 |- ( W e. NrmMod -> W e. LMod )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( W e. CPreHil -> W e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1898   LModclmod 18146  NrmModcnlm 21650   CPreHilccph 22199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-nul 4550

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-xp 4862  df-cnv 4864  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fv 5613  df-ov 6323  df-nlm 21656  df-cph 22201

This theorem is referenced by:  cphclm  22222  cph2ass  22245  cphtchnm  22259  nmparlem  22268  minveclem1  22421  minveclem2  22423  minveclem4  22429  minveclem6  22431  minveclem2OLD  22435  minveclem4OLD  22441  minveclem6OLD  22443  pjthlem1  22446  pjthlem2  22447