Theorem cphlmod 20668

Description: A complex pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphlmod	|- ( W e. CPreHil -> W e. LMod )

Proof of Theorem cphlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 20666	. 2 |- ( W e. CPreHil -> W e. NrmMod )
2		nlmlmod 20234	. 2 |- ( W e. NrmMod -> W e. LMod )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( W e. CPreHil -> W e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1756   LModclmod 16926  NrmModcnlm 20148   CPreHilccph 20660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-nul 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-xp 4841  df-cnv 4843  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fv 5421  df-ov 6089  df-nlm 20154  df-cph 20662

This theorem is referenced by:  cphclm  20683  cph2ass  20706  cphtchnm  20720  nmparlem  20729  minveclem1  20886  minveclem2  20888  minveclem4  20894  minveclem6  20896  pjthlem1  20899  pjthlem2  20900