Theorem cphlmod 21747

Description: A complex pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphlmod	|- ( W e. CPreHil -> W e. LMod )

Proof of Theorem cphlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 21745	. 2 |- ( W e. CPreHil -> W e. NrmMod )
2		nlmlmod 21313	. 2 |- ( W e. NrmMod -> W e. LMod )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( W e. CPreHil -> W e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1819   LModclmod 17639  NrmModcnlm 21227   CPreHilccph 21739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-nul 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-xp 5014  df-cnv 5016  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299  df-nlm 21233  df-cph 21741

This theorem is referenced by:  cphclm  21762  cph2ass  21785  cphtchnm  21799  nmparlem  21808  minveclem1  21965  minveclem2  21967  minveclem4  21973  minveclem6  21975  pjthlem1  21978  pjthlem2  21979