MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphip0r Structured version   Unicode version

Theorem cphip0r 20852
Description: Inner product with a zero second argument. Complex version of ip0r 18190. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphip0l.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
cphip0r  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  .0.  )  =  0 )

Proof of Theorem cphip0r
StepHypRef Expression
1 cphphl 20821 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
4 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
6 cphip0l.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
72, 3, 4, 5, 6ip0r 18190 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  .0.  )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
81, 7sylan 471 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  .0.  )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
9 cphclm 20839 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
102clm0 20775 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
1211adantr 465 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
138, 12eqtr4d 2498 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  .0.  )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   0cc0 9392   Basecbs 14291  Scalarcsca 14359   .icip 14361   0gc0g 14496   PreHilcphl 18177  CModcclm 20765   CPreHilccph 20816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-tpos 6854  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-fz 11554  df-seq 11923  df-exp 11982  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-0g 14498  df-mnd 15533  df-mhm 15582  df-grp 15663  df-subg 15796  df-ghm 15863  df-cmn 16399  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-cring 16770  df-oppr 16837  df-dvdsr 16855  df-unit 16856  df-rnghom 16928  df-drng 16956  df-subrg 16985  df-staf 17052  df-srng 17053  df-lmod 17072  df-lmhm 17225  df-lvec 17306  df-sra 17375  df-rgmod 17376  df-cnfld 17943  df-phl 18179  df-nlm 20310  df-clm 20766  df-cph 20818
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator