MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphdir Structured version   Unicode version

Theorem cphdir 21478
Description: Distributive law for inner product (right-distributivity). Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. Complex version of ipdir 18481. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphdir.P  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
cphdir  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .+  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
)  +  ( B 
.,  C ) ) )

Proof of Theorem cphdir
StepHypRef Expression
1 cphphl 21445 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
4 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 cphdir.P . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
6 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
72, 3, 4, 5, 6ipdir 18481 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .+  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
81, 7sylan 471 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .+  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
9 cphclm 21463 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
102clmadd 21401 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  +  =  ( +g  `  (Scalar `  W ) ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  +  =  ( +g  `  (Scalar `  W ) ) )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  +  =  ( +g  `  (Scalar `  W ) ) )
1312oveqd 6302 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .,  C )  +  ( B  .,  C
) )  =  ( ( A  .,  C
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
148, 13eqtr4d 2511 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .+  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
)  +  ( B 
.,  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    + caddc 9496   Basecbs 14493   +g cplusg 14558  Scalarcsca 14561   .icip 14563   PreHilcphl 18466  CModcclm 21389   CPreHilccph 21440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-seq 12077  df-exp 12136  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-cmn 16615  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-drng 17210  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lmhm 17480  df-lvec 17561  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-cnfld 18232  df-phl 18468  df-nlm 20934  df-clm 21390  df-cph 21442
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator