MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphclm Structured version   Unicode version

Theorem cphclm 21930
Description: A complex pre-Hilbert space is a complex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cphclm  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )

Proof of Theorem cphclm
StepHypRef Expression
1 cphlmod 21915 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2404 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2404 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
42, 3cphsca 21920 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (Scalar `  W )  =  (flds  (
Base `  (Scalar `  W
) ) ) )
52, 3cphsubrg 21921 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( Base `  (Scalar `  W ) )  e.  (SubRing ` fld ) )
62, 3isclm 21858 . 2  |-  ( W  e. CMod 
<->  ( W  e.  LMod  /\  (Scalar `  W )  =  (flds  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )  /\  ( Base `  (Scalar `  W
) )  e.  (SubRing ` fld ) ) )
71, 4, 5, 6syl3anbrc 1183 1  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Basecbs 14843   ↾s cress 14844  Scalarcsca 14914  SubRingcsubrg 17747   LModclmod 17834  ℂfldccnfld 18742  CModcclm 21856   CPreHilccph 21907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-fz 11729  df-seq 12154  df-exp 12213  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-subg 16524  df-cmn 17126  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-drng 17720  df-subrg 17749  df-lvec 18071  df-cnfld 18743  df-phl 18961  df-nlm 21401  df-clm 21857  df-cph 21909
This theorem is referenced by:  cphnmvs  21931  cphipcj  21940  cphorthcom  21941  cphip0l  21942  cphip0r  21943  cphipeq0  21944  cphdir  21945  cphdi  21946  cph2di  21947  cphsubdir  21948  cphsubdi  21949  cph2subdi  21950  cphass  21951  cphassr  21952  cph2ass  21953  nmparlem  21976  ipcn  21980  csscld  21983  clsocv  21984  minveclem2  22135  pjthlem2  22147
  Copyright terms: Public domain W3C validator