MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphcjcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cphcjcl 22216
Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphsca.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cphcjcl  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
* `  A )  e.  K )

Proof of Theorem cphcjcl
StepHypRef Expression
1 cphsca.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 cphsca.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  F
)
31, 2cphsca 22212 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  =  (flds  K ) )
43fveq2d 5896 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( *r `  F )  =  ( *r `  (flds  K
) ) )
5 fvex 5902 . . . . . . 7  |-  ( Base `  F )  e.  _V
62, 5eqeltri 2536 . . . . . 6  |-  K  e. 
_V
7 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
8 cnfldcj 19032 . . . . . . 7  |-  *  =  ( *r ` fld )
97, 8ressstarv 15306 . . . . . 6  |-  ( K  e.  _V  ->  *  =  ( *r `  (flds  K ) ) )
106, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  *  =  ( *r `  (flds  K
) )
114, 10syl6eqr 2514 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( *r `  F )  =  * )
1211adantr 471 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
*r `  F
)  =  * )
1312fveq1d 5894 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
( *r `  F ) `  A
)  =  ( * `
 A ) )
14 cphphl 22204 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
151phlsrng 19253 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  F  e.  *Ring )
1614, 15syl 17 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  e.  *Ring )
17 eqid 2462 . . . 4  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
1817, 2srngcl 18138 . . 3  |-  ( ( F  e.  *Ring  /\  A  e.  K )  ->  (
( *r `  F ) `  A
)  e.  K )
1916, 18sylan 478 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
( *r `  F ) `  A
)  e.  K )
2013, 19eqeltrrd 2541 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
* `  A )  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   _Vcvv 3057   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   *ccj 13214   Basecbs 15176   ↾s cress 15177   *rcstv 15247  Scalarcsca 15248   *Ringcsr 18127  ℂfldccnfld 19025   PreHilcphl 19246   CPreHilccph 22199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-fz 11820  df-cj 13217  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-0g 15395  df-mhm 16637  df-ghm 16936  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-rnghom 17998  df-staf 18128  df-srng 18129  df-cnfld 19026  df-phl 19248  df-cph 22201
This theorem is referenced by:  cphabscl  22218
  Copyright terms: Public domain W3C validator