MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphcjcl Structured version   Unicode version

Theorem cphcjcl 20702
Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphsca.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cphcjcl  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
* `  A )  e.  K )

Proof of Theorem cphcjcl
StepHypRef Expression
1 cphsca.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 cphsca.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  F
)
31, 2cphsca 20698 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  =  (flds  K ) )
43fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( *r `  F )  =  ( *r `  (flds  K
) ) )
5 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( Base `  F )  e.  _V
62, 5eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  K  e. 
_V
7 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
8 cnfldcj 17825 . . . . . . 7  |-  *  =  ( *r ` fld )
97, 8ressstarv 14292 . . . . . 6  |-  ( K  e.  _V  ->  *  =  ( *r `  (flds  K ) ) )
106, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  *  =  ( *r `  (flds  K
) )
114, 10syl6eqr 2493 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( *r `  F )  =  * )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
*r `  F
)  =  * )
1312fveq1d 5693 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
( *r `  F ) `  A
)  =  ( * `
 A ) )
14 cphphl 20690 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
151phlsrng 18060 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  F  e.  *Ring )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  e.  *Ring )
17 eqid 2443 . . . 4  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
1817, 2srngcl 16940 . . 3  |-  ( ( F  e.  *Ring  /\  A  e.  K )  ->  (
( *r `  F ) `  A
)  e.  K )
1916, 18sylan 471 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
( *r `  F ) `  A
)  e.  K )
2013, 19eqeltrrd 2518 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
* `  A )  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   *ccj 12585   Basecbs 14174   ↾s cress 14175   *rcstv 14240  Scalarcsca 14241   *Ringcsr 16929  ℂfldccnfld 17818   PreHilcphl 18053   CPreHilccph 20685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-cj 12588  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-0g 14380  df-mhm 15464  df-ghm 15745  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-rnghom 16806  df-staf 16930  df-srng 16931  df-cnfld 17819  df-phl 18055  df-cph 20687
This theorem is referenced by:  cphabscl  20704
  Copyright terms: Public domain W3C validator