MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphassr Structured version   Unicode version

Theorem cphassr 21393
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare cphass 21392). See ipassr 18448, his52 . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphass.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphass.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
cphass.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
cphassr  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  ( A  .x.  C
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( B 
.,  C ) ) )

Proof of Theorem cphassr
StepHypRef Expression
1 cphclm 21371 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  W  e. CMod )
3 cphass.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
43clmmul 21310 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  x.  =  ( .r `  F ) )
52, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  x.  =  ( .r `  F ) )
6 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  C )  =  ( B  .,  C ) )
73clmcj 21311 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( *r `  F
) )
82, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  *  =  ( *r `  F ) )
98fveq1d 5866 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( * `  A )  =  ( ( *r `  F ) `  A
) )
105, 6, 9oveq123d 6303 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( B  .,  C )  x.  ( * `  A
) )  =  ( ( B  .,  C
) ( .r `  F ) ( ( *r `  F
) `  A )
) )
11 cphass.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  F
)
123, 11clmsscn 21314 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
132, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  K  C_  CC )
14 simpr1 1002 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  A  e.  K )
1513, 14sseldd 3505 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  A  e.  CC )
1615cjcld 12988 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( * `  A )  e.  CC )
17 cphipcj.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
18 cphipcj.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
1917, 18cphipcl 21373 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( B  .,  C )  e.  CC )
20193adant3r1 1205 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  C )  e.  CC )
2116, 20mulcomd 9613 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( (
* `  A )  x.  ( B  .,  C
) )  =  ( ( B  .,  C
)  x.  ( * `
 A ) ) )
22 cphphl 21353 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
23 3anrot 978 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  <->  ( B  e.  V  /\  C  e.  V  /\  A  e.  K )
)
2423biimpi 194 . . 3  |-  ( ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( B  e.  V  /\  C  e.  V  /\  A  e.  K
) )
25 cphass.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
26 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
27 eqid 2467 . . . 4  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
283, 18, 17, 11, 25, 26, 27ipassr 18448 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V  /\  A  e.  K )
)  ->  ( B  .,  ( A  .x.  C
) )  =  ( ( B  .,  C
) ( .r `  F ) ( ( *r `  F
) `  A )
) )
2922, 24, 28syl2an 477 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  ( A  .x.  C
) )  =  ( ( B  .,  C
) ( .r `  F ) ( ( *r `  F
) `  A )
) )
3010, 21, 293eqtr4rd 2519 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  ( A  .x.  C
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( B 
.,  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486    x. cmul 9493   *ccj 12888   Basecbs 14486   .rcmulr 14552   *rcstv 14553  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   .icip 14556   PreHilcphl 18426  CModcclm 21297   CPreHilccph 21348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-grp 15858  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-cmn 16596  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-rnghom 17148  df-drng 17181  df-subrg 17210  df-staf 17277  df-srng 17278  df-lmod 17297  df-lmhm 17451  df-lvec 17532  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-cnfld 18192  df-phl 18428  df-nlm 20842  df-clm 21298  df-cph 21350
This theorem is referenced by:  cph2ass  21394  pjthlem1  21587
  Copyright terms: Public domain W3C validator