MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphassr Structured version   Unicode version

Theorem cphassr 20846
Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare cphass 20845). See ipassr 18184, his52 . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphass.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphass.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
cphass.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
cphassr  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  ( A  .x.  C
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( B 
.,  C ) ) )

Proof of Theorem cphassr
StepHypRef Expression
1 cphclm 20824 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  W  e. CMod )
3 cphass.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
43clmmul 20763 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  x.  =  ( .r `  F ) )
52, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  x.  =  ( .r `  F ) )
6 eqidd 2452 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  C )  =  ( B  .,  C ) )
73clmcj 20764 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  *  =  ( *r `  F
) )
82, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  *  =  ( *r `  F ) )
98fveq1d 5791 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( * `  A )  =  ( ( *r `  F ) `  A
) )
105, 6, 9oveq123d 6211 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( B  .,  C )  x.  ( * `  A
) )  =  ( ( B  .,  C
) ( .r `  F ) ( ( *r `  F
) `  A )
) )
11 cphass.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  F
)
123, 11clmsscn 20767 . . . . . 6  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
132, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  K  C_  CC )
14 simpr1 994 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  A  e.  K )
1513, 14sseldd 3455 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  A  e.  CC )
1615cjcld 12787 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( * `  A )  e.  CC )
17 cphipcj.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
18 cphipcj.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
1917, 18cphipcl 20826 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( B  .,  C )  e.  CC )
20193adant3r1 1197 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  C )  e.  CC )
2116, 20mulcomd 9508 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( (
* `  A )  x.  ( B  .,  C
) )  =  ( ( B  .,  C
)  x.  ( * `
 A ) ) )
22 cphphl 20806 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
23 3anrot 970 . . . 4  |-  ( ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  <->  ( B  e.  V  /\  C  e.  V  /\  A  e.  K )
)
2423biimpi 194 . . 3  |-  ( ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( B  e.  V  /\  C  e.  V  /\  A  e.  K
) )
25 cphass.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
26 eqid 2451 . . . 4  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
27 eqid 2451 . . . 4  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
283, 18, 17, 11, 25, 26, 27ipassr 18184 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V  /\  A  e.  K )
)  ->  ( B  .,  ( A  .x.  C
) )  =  ( ( B  .,  C
) ( .r `  F ) ( ( *r `  F
) `  A )
) )
2922, 24, 28syl2an 477 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  ( A  .x.  C
) )  =  ( ( B  .,  C
) ( .r `  F ) ( ( *r `  F
) `  A )
) )
3010, 21, 293eqtr4rd 2503 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  K  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( B  .,  ( A  .x.  C
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( B 
.,  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3426   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381    x. cmul 9388   *ccj 12687   Basecbs 14276   .rcmulr 14341   *rcstv 14342  Scalarcsca 14343   .scvsca 14344   .icip 14345   PreHilcphl 18162  CModcclm 20750   CPreHilccph 20801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-tpos 6845  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-fz 11539  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-mhm 15566  df-grp 15647  df-subg 15780  df-ghm 15847  df-cmn 16383  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-cring 16754  df-oppr 16821  df-dvdsr 16839  df-unit 16840  df-rnghom 16912  df-drng 16940  df-subrg 16969  df-staf 17036  df-srng 17037  df-lmod 17056  df-lmhm 17209  df-lvec 17290  df-sra 17359  df-rgmod 17360  df-cnfld 17928  df-phl 18164  df-nlm 20295  df-clm 20751  df-cph 20803
This theorem is referenced by:  cph2ass  20847  pjthlem1  21040
  Copyright terms: Public domain W3C validator