MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphabscl Structured version   Unicode version

Theorem cphabscl 21924
Description: The scalar field of a complex pre-Hilbert space is closed under the absolute value operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cphsca.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
cphabscl  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  ( abs `  A )  e.  K )

Proof of Theorem cphabscl
StepHypRef Expression
1 cphsca.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 cphsca.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
31, 2cphsubrg 21919 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
4 cnfldbas 18744 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base ` fld )
54subrgss 17750 . . . . 5  |-  ( K  e.  (SubRing ` fld )  ->  K  C_  CC )
63, 5syl 17 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  K  C_  CC )
76sselda 3442 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  A  e.  CC )
8 absval 13220 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
97, 8syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
10 simpl 455 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  W  e.  CPreHil )
113adantr 463 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
12 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  A  e.  K )
131, 2cphcjcl 21922 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  (
* `  A )  e.  K )
14 cnfldmul 18746 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r ` fld )
1514subrgmcl 17761 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  A  e.  K  /\  ( * `
 A )  e.  K )  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  K )
1611, 12, 13, 15syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  K )
177cjmulrcld 13188 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  RR )
187cjmulge0d 13190 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  0  <_  ( A  x.  (
* `  A )
) )
191, 2cphsqrtcl 21923 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
( A  x.  (
* `  A )
)  e.  K  /\  ( A  x.  (
* `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  ( * `  A
) ) ) )  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  e.  K )
2010, 16, 17, 18, 19syl13anc 1232 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  e.  K )
219, 20eqeltrd 2490 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  K )  ->  ( abs `  A )  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522    x. cmul 9527    <_ cle 9659   *ccj 13078   sqrcsqrt 13215   abscabs 13216   Basecbs 14841  Scalarcsca 14912  SubRingcsubrg 17745  ℂfldccnfld 18740   CPreHilccph 21905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-ico 11588  df-fz 11727  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-grp 16381  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-cmn 17124  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-rnghom 17684  df-drng 17718  df-subrg 17747  df-staf 17814  df-srng 17815  df-lvec 18069  df-cnfld 18741  df-phl 18959  df-cph 21907
This theorem is referenced by:  cphsqrtcl2  21925
  Copyright terms: Public domain W3C validator