Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cph2subdi Structured version   Unicode version

Theorem cph2subdi 21946
 Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ip2subdi 18975. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h
cphipcj.v
cphsubdir.m
cph2subdi.1
cph2subdi.2
cph2subdi.3
cph2subdi.4
cph2subdi.5
Assertion
Ref Expression
cph2subdi

Proof of Theorem cph2subdi
StepHypRef Expression
1 cph2subdi.1 . . . . . 6
2 cphclm 21926 . . . . . 6 CMod
31, 2syl 17 . . . . 5 CMod
4 eqid 2402 . . . . . 6 Scalar Scalar
54clmadd 21864 . . . . 5 CMod Scalar
63, 5syl 17 . . . 4 Scalar
76oveqd 6294 . . 3 Scalar
86oveqd 6294 . . 3 Scalar
97, 8oveq12d 6295 . 2 Scalar Scalar Scalar Scalar
10 cphphl 21908 . . . . . 6
111, 10syl 17 . . . . 5
12 cph2subdi.2 . . . . 5
13 cph2subdi.4 . . . . 5
14 cphipcj.h . . . . . 6
15 cphipcj.v . . . . . 6
16 eqid 2402 . . . . . 6 Scalar Scalar
174, 14, 15, 16ipcl 18964 . . . . 5 Scalar
1811, 12, 13, 17syl3anc 1230 . . . 4 Scalar
19 cph2subdi.3 . . . . 5
20 cph2subdi.5 . . . . 5
214, 14, 15, 16ipcl 18964 . . . . 5 Scalar
2211, 19, 20, 21syl3anc 1230 . . . 4 Scalar
234, 16clmacl 21873 . . . 4 CMod Scalar Scalar Scalar
243, 18, 22, 23syl3anc 1230 . . 3 Scalar
254, 14, 15, 16ipcl 18964 . . . . 5 Scalar
2611, 12, 20, 25syl3anc 1230 . . . 4 Scalar
274, 14, 15, 16ipcl 18964 . . . . 5 Scalar
2811, 19, 13, 27syl3anc 1230 . . . 4 Scalar
294, 16clmacl 21873 . . . 4 CMod Scalar Scalar Scalar
303, 26, 28, 29syl3anc 1230 . . 3 Scalar
314, 16clmsub 21870 . . 3 CMod Scalar Scalar Scalar
323, 24, 30, 31syl3anc 1230 . 2 Scalar
33 cphsubdir.m . . 3
34 eqid 2402 . . 3 Scalar Scalar
35 eqid 2402 . . 3 Scalar Scalar
364, 14, 15, 33, 34, 35, 11, 12, 19, 13, 20ip2subdi 18975 . 2 Scalar Scalar Scalar
379, 32, 363eqtr4rd 2454 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1405   wcel 1842  cfv 5568  (class class class)co 6277   caddc 9524   cmin 9840  cbs 14839   cplusg 14907  Scalarcsca 14910  cip 14912  csg 16377  cphl 18955  CModcclm 21852  ccph 21903 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-addf 9600  ax-mulf 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-seq 12150  df-exp 12209  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-rnghom 17682  df-drng 17716  df-subrg 17745  df-staf 17812  df-srng 17813  df-lmod 17832  df-lmhm 17986  df-lvec 18067  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-cnfld 18739  df-phl 18957  df-nlm 21397  df-clm 21853  df-cph 21905 This theorem is referenced by:  nmparlem  21972
 Copyright terms: Public domain W3C validator