Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cp Structured version   Unicode version

Theorem cp 8361
 Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 8355 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff can be thought of as . Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cp
Distinct variable groups:   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cp
StepHypRef Expression
1 vex 3090 . . 3
21cplem2 8360 . 2
3 abn0 3787 . . . . 5
4 elin 3655 . . . . . . . 8
5 abid 2416 . . . . . . . . 9
65anbi1i 699 . . . . . . . 8
7 ancom 451 . . . . . . . 8
84, 6, 73bitri 274 . . . . . . 7
98exbii 1714 . . . . . 6
10 nfab1 2593 . . . . . . . 8
11 nfcv 2591 . . . . . . . 8
1210, 11nfin 3675 . . . . . . 7
1312n0f 3776 . . . . . 6
14 df-rex 2788 . . . . . 6
159, 13, 143bitr4i 280 . . . . 5
163, 15imbi12i 327 . . . 4
1716ralbii 2863 . . 3
1817exbii 1714 . 2
192, 18mpbi 211 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370  wex 1659   wcel 1870  cab 2414   wne 2625  wral 2782  wrex 2783   cin 3441  c0 3767 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-reg 8107  ax-inf2 8146 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-r1 8234  df-rank 8235 This theorem is referenced by:  bnd  8362
 Copyright terms: Public domain W3C validator