Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cp Structured version   Unicode version

Theorem cp 8321
 Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 8315 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff can be thought of as . Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cp
Distinct variable groups:   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cp
StepHypRef Expression
1 vex 3121 . . 3
21cplem2 8320 . 2
3 abn0 3809 . . . . 5
4 elin 3692 . . . . . . . 8
5 abid 2454 . . . . . . . . 9
65anbi1i 695 . . . . . . . 8
7 ancom 450 . . . . . . . 8
84, 6, 73bitri 271 . . . . . . 7
98exbii 1644 . . . . . 6
10 nfab1 2631 . . . . . . . 8
11 nfcv 2629 . . . . . . . 8
1210, 11nfin 3710 . . . . . . 7
1312n0f 3798 . . . . . 6
14 df-rex 2823 . . . . . 6
159, 13, 143bitr4i 277 . . . . 5
163, 15imbi12i 326 . . . 4
1716ralbii 2898 . . 3
1817exbii 1644 . 2
192, 18mpbi 208 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369  wex 1596   wcel 1767  cab 2452   wne 2662  wral 2817  wrex 2818   cin 3480  c0 3790 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-reg 8030  ax-inf2 8070 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-r1 8194  df-rank 8195 This theorem is referenced by:  bnd  8322
 Copyright terms: Public domain W3C validator