Theorem cover2 32040

Description: Two ways of expressing the statement "there is a cover of A by elements of B such that for each set in the cover, ph." Note that ph and x must be distinct. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
cover2.1	|- B e. _V
cover2.2	|- A = U. B

Assertion

Ref	Expression
cover2	|- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) <-> E. z e. ~P B ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) )

Distinct variable groups:   ph, x, z   x, B, y, z   x, A, z

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)

Proof of Theorem cover2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3514	. . . 4 |- { y e. B | ph } C_ B
2		cover2.1	. . . . 5 |- B e. _V
3	2	elpw2 4567	. . . 4 |- ( { y e. B | ph } e. ~P B <-> { y e. B | ph } C_ B )
4	1, 3	mpbir 213	. . 3 |- { y e. B | ph } e. ~P B
5		nfra1 2769	. . . . 5 |- F/ x A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph )
6	1	unissi 4221	. . . . . . . 8 |- U. { y e. B | ph } C_ U. B
7	6	sseli 3428	. . . . . . 7 |- ( x e. U. { y e. B | ph } -> x e. U. B )
8		cover2.2	. . . . . . 7 |- A = U. B
9	7, 8	syl6eleqr 2540	. . . . . 6 |- ( x e. U. { y e. B | ph } -> x e. A )
10		rsp 2754	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) -> ( x e. A -> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) ) )
11		elunirab 4210	. . . . . . 7 |- ( x e. U. { y e. B | ph } <-> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
12	10, 11	syl6ibr 231	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) -> ( x e. A -> x e. U. { y e. B | ph } ) )
13	9, 12	impbid2 208	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) -> ( x e. U. { y e. B | ph } <-> x e. A ) )
14	5, 13	alrimi 1955	. . . 4 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) -> A. x ( x e. U. { y e. B | ph } <-> x e. A ) )
15		dfcleq 2445	. . . 4 |- ( U. { y e. B | ph } = A <-> A. x ( x e. U. { y e. B | ph } <-> x e. A ) )
16	14, 15	sylibr 216	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) -> U. { y e. B | ph } = A )
17		unieq 4206	. . . . . . 7 |- ( z = { y e. B | ph } -> U. z = U. { y e. B | ph } )
18	17	eqeq1d 2453	. . . . . 6 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( U. z = A <-> U. { y e. B | ph } = A ) )
19	18	anbi1d 711	. . . . 5 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) <-> ( U. { y e. B | ph } = A /\ A. y e. z ph ) ) )
20		nfrab1 2971	. . . . . . . 8 |- F/_ y { y e. B | ph }
21	20	nfeq2 2607	. . . . . . 7 |- F/ y z = { y e. B | ph }
22		eleq2 2518	. . . . . . . 8 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( y e. z <-> y e. { y e. B | ph } ) )
23		rabid 2967	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { y e. B | ph } <-> ( y e. B /\ ph ) )
24	23	simprbi 466	. . . . . . . 8 |- ( y e. { y e. B | ph } -> ph )
25	22, 24	syl6bi 232	. . . . . . 7 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( y e. z -> ph ) )
26	21, 25	ralrimi 2788	. . . . . 6 |- ( z = { y e. B | ph } -> A. y e. z ph )
27	26	biantrud 510	. . . . 5 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( U. { y e. B | ph } = A <-> ( U. { y e. B | ph } = A /\ A. y e. z ph ) ) )
28	19, 27	bitr4d 260	. . . 4 |- ( z = { y e. B | ph } -> ( ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) <-> U. { y e. B | ph } = A ) )
29	28	rspcev 3150	. . 3 |- ( ( { y e. B | ph } e. ~P B /\ U. { y e. B | ph } = A ) -> E. z e. ~P B ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) )
30	4, 16, 29	sylancr 669	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) -> E. z e. ~P B ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) )
31		eleq2 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( U. z = A -> ( x e. U. z <-> x e. A ) )
32	31	biimpar 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. z = A /\ x e. A ) -> x e. U. z )
33		eluni2 4202	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U. z <-> E. y e. z x e. y )
34	32, 33	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( ( U. z = A /\ x e. A ) -> E. y e. z x e. y )
35		elpwi 3960	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~P B -> z C_ B )
36		r19.29r 2926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E. y e. z x e. y /\ A. y e. z ph ) -> E. y e. z ( x e. y /\ ph ) )
37	36	expcom 437	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. z ph -> ( E. y e. z x e. y -> E. y e. z ( x e. y /\ ph ) ) )
38		ssrexv 3494	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ B -> ( E. y e. z ( x e. y /\ ph ) -> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) ) )
39	37, 38	sylan9r 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z C_ B /\ A. y e. z ph ) -> ( E. y e. z x e. y -> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) ) )
40	35, 39	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~P B /\ A. y e. z ph ) -> ( E. y e. z x e. y -> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) ) )
41	40	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. ~P B /\ A. y e. z ph ) /\ E. y e. z x e. y ) -> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
42	34, 41	sylan2 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. ~P B /\ A. y e. z ph ) /\ ( U. z = A /\ x e. A ) ) -> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
43	42	anassrs 654	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. ~P B /\ A. y e. z ph ) /\ U. z = A ) /\ x e. A ) -> E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
44	43	ralrimiva 2802	. . . . 5 |- ( ( ( z e. ~P B /\ A. y e. z ph ) /\ U. z = A ) -> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
45	44	anasss 653	. . . 4 |- ( ( z e. ~P B /\ ( A. y e. z ph /\ U. z = A ) ) -> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
46	45	ancom2s 811	. . 3 |- ( ( z e. ~P B /\ ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) ) -> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
47	46	rexlimiva 2875	. 2 |- ( E. z e. ~P B ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) -> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) )
48	30, 47	impbii 191	1 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ ph ) <-> E. z e. ~P B ( U. z = A /\ A. y e. z ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1442   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-in 3411  df-ss 3418  df-pw 3953  df-uni 4199

This theorem is referenced by:  cover2g  32041