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Theorem cover2 32040
Description: Two ways of expressing the statement "there is a cover of  A by elements of  B such that for each set in the cover,  ph." Note that  ph and  x must be distinct. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
cover2.1  |-  B  e. 
_V
cover2.2  |-  A  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
cover2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  <->  E. z  e.  ~P  B ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )
Distinct variable groups:    ph, x, z   
x, B, y, z   
x, A, z
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y)

Proof of Theorem cover2
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3514 . . . 4  |-  { y  e.  B  |  ph }  C_  B
2 cover2.1 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
32elpw2 4567 . . . 4  |-  ( { y  e.  B  |  ph }  e.  ~P B  <->  { y  e.  B  |  ph }  C_  B )
41, 3mpbir 213 . . 3  |-  { y  e.  B  |  ph }  e.  ~P B
5 nfra1 2769 . . . . 5  |-  F/ x A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
61unissi 4221 . . . . . . . 8  |-  U. {
y  e.  B  |  ph }  C_  U. B
76sseli 3428 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph }  ->  x  e.  U. B )
8 cover2.2 . . . . . . 7  |-  A  = 
U. B
97, 8syl6eleqr 2540 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph }  ->  x  e.  A
)
10 rsp 2754 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
) )
11 elunirab 4210 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph } 
<->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
1210, 11syl6ibr 231 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  ( x  e.  A  ->  x  e. 
U. { y  e.  B  |  ph }
) )
139, 12impbid2 208 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  ( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph }  <->  x  e.  A ) )
145, 13alrimi 1955 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  A. x
( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph }  <->  x  e.  A ) )
15 dfcleq 2445 . . . 4  |-  ( U. { y  e.  B  |  ph }  =  A  <->  A. x ( x  e. 
U. { y  e.  B  |  ph }  <->  x  e.  A ) )
1614, 15sylibr 216 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  U. { y  e.  B  |  ph }  =  A )
17 unieq 4206 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  U. z  =  U. { y  e.  B  |  ph } )
1817eqeq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( U. z  =  A  <->  U. { y  e.  B  |  ph }  =  A ) )
1918anbi1d 711 . . . . 5  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph )  <->  ( U. { y  e.  B  |  ph }  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) ) )
20 nfrab1 2971 . . . . . . . 8  |-  F/_ y { y  e.  B  |  ph }
2120nfeq2 2607 . . . . . . 7  |-  F/ y  z  =  { y  e.  B  |  ph }
22 eleq2 2518 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( y  e.  z  <-> 
y  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )
23 rabid 2967 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ph }  <->  ( y  e.  B  /\  ph ) )
2423simprbi 466 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ph }  ->  ph )
2522, 24syl6bi 232 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( y  e.  z  ->  ph ) )
2621, 25ralrimi 2788 . . . . . 6  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  A. y  e.  z 
ph )
2726biantrud 510 . . . . 5  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( U. { y  e.  B  |  ph }  =  A  <->  ( U. { y  e.  B  |  ph }  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) ) )
2819, 27bitr4d 260 . . . 4  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph )  <->  U. { y  e.  B  |  ph }  =  A )
)
2928rspcev 3150 . . 3  |-  ( ( { y  e.  B  |  ph }  e.  ~P B  /\  U. { y  e.  B  |  ph }  =  A )  ->  E. z  e.  ~P  B ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )
304, 16, 29sylancr 669 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  E. z  e.  ~P  B ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )
31 eleq2 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. z  =  A  ->  ( x  e.  U. z  <->  x  e.  A ) )
3231biimpar 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. z  =  A  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  U. z )
33 eluni2 4202 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U. z  <->  E. y  e.  z  x  e.  y )
3432, 33sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. z  =  A  /\  x  e.  A
)  ->  E. y  e.  z  x  e.  y )
35 elpwi 3960 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~P B  -> 
z  C_  B )
36 r19.29r 2926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. y  e.  z  x  e.  y  /\  A. y  e.  z  ph )  ->  E. y  e.  z  ( x  e.  y  /\  ph ) )
3736expcom 437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  z  ph  ->  ( E. y  e.  z  x  e.  y  ->  E. y  e.  z  ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
38 ssrexv 3494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  B  ->  ( E. y  e.  z 
( x  e.  y  /\  ph )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
3937, 38sylan9r 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  B  /\  A. y  e.  z  ph )  ->  ( E. y  e.  z  x  e.  y  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
4035, 39sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~P B  /\  A. y  e.  z 
ph )  ->  ( E. y  e.  z  x  e.  y  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
4140imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ~P B  /\  A. y  e.  z  ph )  /\  E. y  e.  z  x  e.  y )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
4234, 41sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ~P B  /\  A. y  e.  z  ph )  /\  ( U. z  =  A  /\  x  e.  A
) )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
)
4342anassrs 654 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P B  /\  A. y  e.  z  ph )  /\  U. z  =  A )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
)
4443ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  ~P B  /\  A. y  e.  z  ph )  /\  U. z  =  A )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
4544anasss 653 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ~P B  /\  ( A. y  e.  z  ph  /\  U. z  =  A )
)  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
)
4645ancom2s 811 . . 3  |-  ( ( z  e.  ~P B  /\  ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
4746rexlimiva 2875 . 2  |-  ( E. z  e.  ~P  B
( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
4830, 47impbii 191 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  <->  E. z  e.  ~P  B ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-in 3411  df-ss 3418  df-pw 3953  df-uni 4199
This theorem is referenced by:  cover2g  32041
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