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Theorem cover2 28605
Description: Two ways of expressing the statement "there is a cover of  A by elements of  B such that for each set in the cover,  ph." Note that  ph and  x must be distinct. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
cover2.1  |-  B  e. 
_V
cover2.2  |-  A  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
cover2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  <->  E. z  e.  ~P  B ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )
Distinct variable groups:    ph, x, z   
x, B, y, z   
x, A, z
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y)

Proof of Theorem cover2
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3436 . . . 4  |-  { y  e.  B  |  ph }  C_  B
2 cover2.1 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
32elpw2 4455 . . . 4  |-  ( { y  e.  B  |  ph }  e.  ~P B  <->  { y  e.  B  |  ph }  C_  B )
41, 3mpbir 209 . . 3  |-  { y  e.  B  |  ph }  e.  ~P B
5 nfra1 2765 . . . . 5  |-  F/ x A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
61unissi 4113 . . . . . . . 8  |-  U. {
y  e.  B  |  ph }  C_  U. B
76sseli 3351 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph }  ->  x  e.  U. B )
8 cover2.2 . . . . . . 7  |-  A  = 
U. B
97, 8syl6eleqr 2533 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph }  ->  x  e.  A
)
10 rsp 2775 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
) )
11 elunirab 4102 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph } 
<->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
1210, 11syl6ibr 227 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  ( x  e.  A  ->  x  e. 
U. { y  e.  B  |  ph }
) )
139, 12impbid2 204 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  ( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph }  <->  x  e.  A ) )
145, 13alrimi 1811 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  A. x
( x  e.  U. { y  e.  B  |  ph }  <->  x  e.  A ) )
15 dfcleq 2436 . . . 4  |-  ( U. { y  e.  B  |  ph }  =  A  <->  A. x ( x  e. 
U. { y  e.  B  |  ph }  <->  x  e.  A ) )
1614, 15sylibr 212 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  U. { y  e.  B  |  ph }  =  A )
17 unieq 4098 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  U. z  =  U. { y  e.  B  |  ph } )
1817eqeq1d 2450 . . . . . 6  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( U. z  =  A  <->  U. { y  e.  B  |  ph }  =  A ) )
1918anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph )  <->  ( U. { y  e.  B  |  ph }  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) ) )
20 nfrab1 2900 . . . . . . . 8  |-  F/_ y { y  e.  B  |  ph }
2120nfeq2 2589 . . . . . . 7  |-  F/ y  z  =  { y  e.  B  |  ph }
22 eleq2 2503 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( y  e.  z  <-> 
y  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )
23 rabid 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ph }  <->  ( y  e.  B  /\  ph ) )
2423simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  ph }  ->  ph )
2522, 24syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( y  e.  z  ->  ph ) )
2621, 25ralrimi 2796 . . . . . 6  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  A. y  e.  z 
ph )
2726biantrud 507 . . . . 5  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( U. { y  e.  B  |  ph }  =  A  <->  ( U. { y  e.  B  |  ph }  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) ) )
2819, 27bitr4d 256 . . . 4  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph )  <->  U. { y  e.  B  |  ph }  =  A )
)
2928rspcev 3072 . . 3  |-  ( ( { y  e.  B  |  ph }  e.  ~P B  /\  U. { y  e.  B  |  ph }  =  A )  ->  E. z  e.  ~P  B ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )
304, 16, 29sylancr 663 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  E. z  e.  ~P  B ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )
31 eleq2 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. z  =  A  ->  ( x  e.  U. z  <->  x  e.  A ) )
3231biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. z  =  A  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  U. z )
33 eluni2 4094 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U. z  <->  E. y  e.  z  x  e.  y )
3432, 33sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. z  =  A  /\  x  e.  A
)  ->  E. y  e.  z  x  e.  y )
35 elpwi 3868 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~P B  -> 
z  C_  B )
36 r19.29r 2857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. y  e.  z  x  e.  y  /\  A. y  e.  z  ph )  ->  E. y  e.  z  ( x  e.  y  /\  ph ) )
3736expcom 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  z  ph  ->  ( E. y  e.  z  x  e.  y  ->  E. y  e.  z  ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
38 ssrexv 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  B  ->  ( E. y  e.  z 
( x  e.  y  /\  ph )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
3937, 38sylan9r 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  B  /\  A. y  e.  z  ph )  ->  ( E. y  e.  z  x  e.  y  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
4035, 39sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~P B  /\  A. y  e.  z 
ph )  ->  ( E. y  e.  z  x  e.  y  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
4140imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  ~P B  /\  A. y  e.  z  ph )  /\  E. y  e.  z  x  e.  y )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
4234, 41sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ~P B  /\  A. y  e.  z  ph )  /\  ( U. z  =  A  /\  x  e.  A
) )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
)
4342anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
~P B  /\  A. y  e.  z  ph )  /\  U. z  =  A )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
)
4443ralrimiva 2798 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  ~P B  /\  A. y  e.  z  ph )  /\  U. z  =  A )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
4544anasss 647 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ~P B  /\  ( A. y  e.  z  ph  /\  U. z  =  A )
)  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph )
)
4645ancom2s 800 . . 3  |-  ( ( z  e.  ~P B  /\  ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
4746rexlimiva 2835 . 2  |-  ( E. z  e.  ~P  B
( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  ph ) )
4830, 47impbii 188 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  ph )  <->  E. z  e.  ~P  B ( U. z  =  A  /\  A. y  e.  z  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   ~Pcpw 3859   U.cuni 4090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-in 3334  df-ss 3341  df-pw 3861  df-uni 4091
This theorem is referenced by:  cover2g  28606
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