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Theorem coundir 5509
Description: Class composition distributes over union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
coundir  |-  ( ( A  u.  B )  o.  C )  =  ( ( A  o.  C )  u.  ( B  o.  C )
)

Proof of Theorem coundir
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopab 4522 . . 3  |-  ( {
<. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y A z ) }  u.  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y B z ) } )  =  { <. x ,  z >.  |  ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/ 
E. y ( x C y  /\  y B z ) ) }
2 brun 4495 . . . . . . . 8  |-  ( y ( A  u.  B
) z  <->  ( y A z  \/  y B z ) )
32anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z )  <-> 
( x C y  /\  ( y A z  \/  y B z ) ) )
4 andi 865 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y  /\  ( y A z  \/  y B z ) )  <->  ( (
x C y  /\  y A z )  \/  ( x C y  /\  y B z ) ) )
53, 4bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z )  <-> 
( ( x C y  /\  y A z )  \/  (
x C y  /\  y B z ) ) )
65exbii 1644 . . . . 5  |-  ( E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z )  <->  E. y
( ( x C y  /\  y A z )  \/  (
x C y  /\  y B z ) ) )
7 19.43 1670 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( x C y  /\  y A z )  \/  ( x C y  /\  y B z ) )  <->  ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/  E. y ( x C y  /\  y B z ) ) )
86, 7bitr2i 250 . . . 4  |-  ( ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/ 
E. y ( x C y  /\  y B z ) )  <->  E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) )
98opabbii 4511 . . 3  |-  { <. x ,  z >.  |  ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/ 
E. y ( x C y  /\  y B z ) ) }  =  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) }
101, 9eqtri 2496 . 2  |-  ( {
<. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y A z ) }  u.  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y B z ) } )  =  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) }
11 df-co 5008 . . 3  |-  ( A  o.  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x C y  /\  y A z ) }
12 df-co 5008 . . 3  |-  ( B  o.  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x C y  /\  y B z ) }
1311, 12uneq12i 3656 . 2  |-  ( ( A  o.  C )  u.  ( B  o.  C ) )  =  ( { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y A z ) }  u.  {
<. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y B z ) } )
14 df-co 5008 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  o.  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) }
1510, 13, 143eqtr4ri 2507 1  |-  ( ( A  u.  B )  o.  C )  =  ( ( A  o.  C )  u.  ( B  o.  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    u. cun 3474   class class class wbr 4447   {copab 4504    o. ccom 5003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-v 3115  df-un 3481  df-br 4448  df-opab 4506  df-co 5008
This theorem is referenced by:  diophrw  30523  diophren  30578
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