MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coundir Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem coundir 5336
Description: Class composition distributes over union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
coundir  |-  ( ( A  u.  B )  o.  C )  =  ( ( A  o.  C )  u.  ( B  o.  C )
)

Proof of Theorem coundir
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopab 4477 . . 3  |-  ( {
<. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y A z ) }  u.  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y B z ) } )  =  { <. x ,  z >.  |  ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/ 
E. y ( x C y  /\  y B z ) ) }
2 brun 4450 . . . . . . . 8  |-  ( y ( A  u.  B
) z  <->  ( y A z  \/  y B z ) )
32anbi2i 699 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z )  <-> 
( x C y  /\  ( y A z  \/  y B z ) ) )
4 andi 877 . . . . . . 7  |-  ( ( x C y  /\  ( y A z  \/  y B z ) )  <->  ( (
x C y  /\  y A z )  \/  ( x C y  /\  y B z ) ) )
53, 4bitri 253 . . . . . 6  |-  ( ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z )  <-> 
( ( x C y  /\  y A z )  \/  (
x C y  /\  y B z ) ) )
65exbii 1717 . . . . 5  |-  ( E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z )  <->  E. y
( ( x C y  /\  y A z )  \/  (
x C y  /\  y B z ) ) )
7 19.43 1744 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( x C y  /\  y A z )  \/  ( x C y  /\  y B z ) )  <->  ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/  E. y ( x C y  /\  y B z ) ) )
86, 7bitr2i 254 . . . 4  |-  ( ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/ 
E. y ( x C y  /\  y B z ) )  <->  E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) )
98opabbii 4466 . . 3  |-  { <. x ,  z >.  |  ( E. y ( x C y  /\  y A z )  \/ 
E. y ( x C y  /\  y B z ) ) }  =  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) }
101, 9eqtri 2472 . 2  |-  ( {
<. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y A z ) }  u.  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y B z ) } )  =  { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) }
11 df-co 4842 . . 3  |-  ( A  o.  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x C y  /\  y A z ) }
12 df-co 4842 . . 3  |-  ( B  o.  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x C y  /\  y B z ) }
1311, 12uneq12i 3585 . 2  |-  ( ( A  o.  C )  u.  ( B  o.  C ) )  =  ( { <. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y A z ) }  u.  {
<. x ,  z >.  |  E. y ( x C y  /\  y B z ) } )
14 df-co 4842 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  o.  C )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x C y  /\  y ( A  u.  B ) z ) }
1510, 13, 143eqtr4ri 2483 1  |-  ( ( A  u.  B )  o.  C )  =  ( ( A  o.  C )  u.  ( B  o.  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1443   E.wex 1662    u. cun 3401   class class class wbr 4401   {copab 4459    o. ccom 4837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-v 3046  df-un 3408  df-br 4402  df-opab 4461  df-co 4842
This theorem is referenced by:  diophrw  35595  diophren  35650  rtrclex  36218  trclubgNEW  36219  trclexi  36221  rtrclexi  36222  cnvtrcl0  36227  trrelsuperrel2dg  36257
  Copyright terms: Public domain W3C validator