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Theorem cotrcltrcl 36329
Description: The transitive closure is idempotent. (Contributed by RP, 16-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
cotrcltrcl  |-  ( t+  o.  t+ )  =  t+

Proof of Theorem cotrcltrcl
Dummy variables  a 
b  c  d  i  j  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrcl3 36324 . 2  |-  t+  =  ( a  e.  _V  |->  U_ i  e.  NN  ( a ^r 
i ) )
2 dftrcl3 36324 . 2  |-  t+  =  ( b  e.  _V  |->  U_ j  e.  NN  ( b ^r 
j ) )
3 dftrcl3 36324 . 2  |-  t+  =  ( c  e.  _V  |->  U_ k  e.  NN  ( c ^r 
k ) )
4 nnex 10622 . 2  |-  NN  e.  _V
5 unidm 3579 . . 3  |-  ( NN  u.  NN )  =  NN
65eqcomi 2462 . 2  |-  NN  =  ( NN  u.  NN )
7 1ex 9643 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
8 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 ) )
97, 8iunxsn 4364 . . . . 5  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )
10 ovex 6323 . . . . . . . 8  |-  ( d ^r  j )  e.  _V
114, 10iunex 6778 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )  e. 
_V
12 relexp1g 13101 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j )  e.  _V  ->  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )  =  U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )
14 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  k ) )
1514cbviunv 4320 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j )  = 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k )
1613, 15eqtri 2475 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )
179, 16eqtri 2475 . . . 4  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  =  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )
1817eqcomi 2462 . . 3  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  = 
U_ i  e.  {
1 }  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i )
19 1nn 10627 . . . . 5  |-  1  e.  NN
20 snssi 4119 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
2119, 20ax-mp 5 . . . 4  |-  { 1 }  C_  NN
22 iunss1 4293 . . . 4  |-  ( { 1 }  C_  NN  ->  U_ i  e.  {
1 }  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i ) )
2321, 22ax-mp 5 . . 3  |-  U_ i  e.  { 1 }  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  C_  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )
2418, 23eqsstri 3464 . 2  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )
25 iunss 4322 . . . 4  |-  ( U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  <->  A. i  e.  NN  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k ) )
26 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
x )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
1 ) )
2726sseq1d 3461 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
x )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  <->  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) )
28 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
x )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
y ) )
2928sseq1d 3461 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
x )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  <->  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  y )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) )
30 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
x )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
( y  +  1 ) ) )
3130sseq1d 3461 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
x )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  <->  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  ( y  +  1 ) )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) )
32 oveq2 6303 . . . . . 6  |-  ( x  =  i  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
x )  =  (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i ) )
3332sseq1d 3461 . . . . 5  |-  ( x  =  i  ->  (
( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
x )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  <->  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) )
3416eqimssi 3488 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  1 )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )
35 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
y )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) )  ->  y  e.  NN )
36 relexpsucnnr 13100 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j )  e.  _V  /\  y  e.  NN )  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  ( y  +  1 ) )  =  ( ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  y )  o. 
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ) )
3711, 35, 36sylancr 670 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
y )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) )  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  ( y  +  1 ) )  =  ( ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  y )  o. 
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ) )
38 coss1 4993 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
y )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  -> 
( ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  y )  o. 
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) )  C_  ( U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k )  o.  U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ) )
3938adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
y )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) )  ->  ( ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  y )  o.  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ) 
C_  ( U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  o. 
U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ) )
4015coeq2i 4998 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )  o.  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) )  =  ( U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  o. 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
41 trclfvcotrg 13092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t+ `  d
)  o.  ( t+ `  d ) )  C_  ( t+ `  d )
42 vex 3050 . . . . . . . . . . . 12  |-  d  e. 
_V
43 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  d  ->  (
c ^r  k )  =  ( d ^r  k ) )
4443iuneq2d 4308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  d  ->  U_ k  e.  NN  ( c ^r  k )  = 
U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
45 ovex 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d ^r  k )  e.  _V
464, 45iunex 6778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  e. 
_V
4744, 3, 46fvmpt 5953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  _V  ->  (
t+ `  d
)  =  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) )
4842, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t+ `  d )  =  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )
4948, 48coeq12i 5001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t+ `  d
)  o.  ( t+ `  d ) )  =  ( U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )  o.  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) )
5041, 49, 483sstr3i 3472 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )  o.  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) 
C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k )
5140, 50eqsstri 3464 . . . . . . . 8  |-  ( U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )  o.  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ) 
C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k )
5239, 51syl6ss 3446 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
y )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) )  ->  ( ( U_ j  e.  NN  (
d ^r  j ) ^r  y )  o.  U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ) 
C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r 
k ) )
5337, 52eqsstrd 3468 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
y )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) )  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  ( y  +  1 ) )  C_  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k ) )
5453ex 436 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
y )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  -> 
( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
( y  +  1 ) )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) ) )
5527, 29, 31, 33, 34, 54nnind 10634 . . . 4  |-  ( i  e.  NN  ->  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r 
j ) ^r 
i )  C_  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k ) )
5625, 55mprgbir 2754 . . 3  |-  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  NN  (
d ^r  k )
57 iuneq1 4295 . . . 4  |-  ( NN  =  ( NN  u.  NN )  ->  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  = 
U_ k  e.  ( NN  u.  NN ) ( d ^r 
k ) )
586, 57ax-mp 5 . . 3  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  = 
U_ k  e.  ( NN  u.  NN ) ( d ^r 
k )
5956, 58sseqtri 3466 . 2  |-  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  NN  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  ( NN  u.  NN ) ( d ^r  k )
601, 2, 3, 4, 4, 6, 24, 24, 59comptiunov2i 36310 1  |-  ( t+  o.  t+ )  =  t+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   _Vcvv 3047    u. cun 3404    C_ wss 3406   {csn 3970   U_ciun 4281    o. ccom 4841   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1c1 9545    + caddc 9547   NNcn 10616   t+ctcl 13061   ^r crelexp 13095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-seq 12221  df-trcl 13063  df-relexp 13096
This theorem is referenced by:  cortrcltrcl  36344  cotrclrtrcl  36348
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