Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cotrclrcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cotrclrcl 36405
Description: The composition of the reflexive and transitive closures is the reflexive-transitive closure. (Contributed by RP, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
cotrclrcl  |-  ( t+  o.  r* )  =  t*

Proof of Theorem cotrclrcl
Dummy variables  a 
b  c  d  i  j  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrcl3 36383 . 2  |-  t+  =  ( a  e.  _V  |->  U_ i  e.  NN  ( a ^r 
i ) )
2 dfrcl4 36339 . 2  |-  r*  =  ( b  e.  _V  |->  U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( b ^r 
j ) )
3 dfrtrcl3 36396 . 2  |-  t*  =  ( c  e.  _V  |->  U_ k  e.  NN0  ( c ^r 
k ) )
4 nnex 10637 . 2  |-  NN  e.  _V
5 prex 4642 . 2  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
6 df-n0 10894 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
7 df-pr 3962 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
87equncomi 3571 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 1 }  u.  { 0 } )
98uneq2i 3576 . . . 4  |-  ( NN  u.  { 0 ,  1 } )  =  ( NN  u.  ( { 1 }  u.  { 0 } ) )
10 unass 3582 . . . 4  |-  ( ( NN  u.  { 1 } )  u.  {
0 } )  =  ( NN  u.  ( { 1 }  u.  { 0 } ) )
11 1nn 10642 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
12 snssi 4107 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { 1 }  C_  NN
14 ssequn2 3598 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  C_  NN  <->  ( NN  u.  { 1 } )  =  NN )
1513, 14mpbi 213 . . . . 5  |-  ( NN  u.  { 1 } )  =  NN
1615uneq1i 3575 . . . 4  |-  ( ( NN  u.  { 1 } )  u.  {
0 } )  =  ( NN  u.  {
0 } )
179, 10, 163eqtr2ri 2500 . . 3  |-  ( NN  u.  { 0 } )  =  ( NN  u.  { 0 ,  1 } )
186, 17eqtri 2493 . 2  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 ,  1 } )
19 oveq2 6316 . . . 4  |-  ( k  =  i  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  i ) )
2019cbviunv 4308 . . 3  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  = 
U_ i  e.  NN  ( d ^r 
i )
21 ss2iun 4285 . . . 4  |-  ( A. i  e.  NN  (
d ^r  i )  C_  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  ->  U_ i  e.  NN  ( d ^r  i )  C_  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
22 1ex 9656 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
2322prid2 4072 . . . . . . 7  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
24 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  1 ) )
25 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  d  e. 
_V
26 relexp1g 13166 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  _V  ->  (
d ^r  1 )  =  d )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( d ^r  1 )  =  d
2824, 27syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  (
d ^r  j )  =  d )
2928ssiun2s 4313 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { 0 ,  1 }  ->  d  C_ 
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) )
3023, 29ax-mp 5 . . . . . 6  |-  d  C_  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j )
3130a1i 11 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN  ->  d  C_ 
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) )
32 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  j )  e.  _V
335, 32iunex 6792 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN  ->  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  e. 
_V )
35 nnnn0 10900 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  NN0 )
3631, 34, 35relexpss1d 36368 . . . 4  |-  ( i  e.  NN  ->  (
d ^r  i )  C_  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
3721, 36mprg 2770 . . 3  |-  U_ i  e.  NN  ( d ^r  i )  C_  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )
3820, 37eqsstri 3448 . 2  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )
39 oveq2 6316 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  1 ) )
40 relexp1g 13166 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j )  e.  _V  ->  (
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )  =  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) )
4133, 40ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )
42 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  k ) )
4342cbviunv 4308 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  = 
U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k )
4441, 43eqtri 2493 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )
4539, 44syl6eq 2521 . . . 4  |-  ( i  =  1  ->  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k ) )
4645ssiun2s 4313 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
4711, 46ax-mp 5 . 2  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )
48 iunss 4310 . . . 4  |-  ( U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e. 
NN0  ( d ^r  k )  <->  A. i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k ) )
49 iuneq1 4283 . . . . . . . 8  |-  ( { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )  ->  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  = 
U_ j  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( d ^r  j ) )
507, 49ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  = 
U_ j  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( d ^r  j )
51 iunxun 4354 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( d ^r  j )  =  ( U_ j  e. 
{ 0 }  (
d ^r  j )  u.  U_ j  e.  { 1 }  (
d ^r  j ) )
52 c0ex 9655 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
53 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  0  ->  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  0 ) )
5452, 53iunxsn 4352 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  { 0 }  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  0 )
5522, 24iunxsn 4352 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  { 1 }  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  1 )
5654, 55uneq12i 3577 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  { 0 }  ( d ^r  j )  u. 
U_ j  e.  {
1 }  ( d ^r  j ) )  =  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) )
5750, 51, 563eqtri 2497 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  =  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) )
5857oveq1i 6318 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
i )
59 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  x )  =  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  1 ) )
6059sseq1d 3445 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  x ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  <->  ( (
( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
1 )  C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k ) ) )
61 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  x )  =  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y ) )
6261sseq1d 3445 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  x ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  <->  ( (
( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
y )  C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k ) ) )
63 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  x )  =  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  ( y  +  1 ) ) )
6463sseq1d 3445 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  x ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  <->  ( (
( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
( y  +  1 ) )  C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k ) ) )
65 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  x )  =  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  i ) )
6665sseq1d 3445 . . . . . 6  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  x ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  <->  ( (
( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
i )  C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k ) ) )
67 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( d ^r  0 )  e.  _V
68 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( d ^r  1 )  e.  _V
6967, 68unex 6608 . . . . . . . 8  |-  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) )  e.  _V
70 relexp1g 13166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) )  e.  _V  ->  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  1 )  =  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
1 )  =  ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) )
72 0nn0 10908 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
73 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  0 ) )
7473ssiun2s 4313 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( d ^r  0 ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )
7572, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( d ^r  0 ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )
76 1nn0 10909 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
77 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  1 ) )
7877ssiun2s 4313 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( d ^r  1 ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )
7976, 78ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( d ^r  1 ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )
8075, 79unssi 3600 . . . . . . 7  |-  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) )  C_  U_ k  e. 
NN0  ( d ^r  k )
8171, 80eqsstri 3448 . . . . . 6  |-  ( ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
1 )  C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )
82 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )  -> 
y  e.  NN )
83 relexpsucnnr 13165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) )  e. 
_V  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
( y  +  1 ) )  =  ( ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ) )
8469, 82, 83sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )  -> 
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
y )  o.  (
( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ) )
85 coss1 4995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  y )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k )  ->  ( (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  y )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ) 
C_  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ) )
86 coundi 5343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) )  =  ( (
U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  0 ) )  u.  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) ) )
87 relexp0g 13162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  _V  ->  (
d ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  d  u. 
ran  d ) ) )
8825, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) )
8988coeq2i 5000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  0 ) )  =  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  (  _I  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) ) )
90 coiun1 36315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  (  _I  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) ) )  =  U_ k  e. 
NN0  ( ( d ^r  k )  o.  (  _I  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) ) )
91 coires1 5360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d ^r  k )  o.  (  _I  |`  ( dom  d  u. 
ran  d ) ) )  =  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( d ^r  k )  o.  (  _I  |`  ( dom  d  u. 
ran  d ) ) )  =  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) ) )
9392iuneq2i 4288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ k  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  o.  (  _I  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) ) )  =  U_ k  e. 
NN0  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u. 
ran  d ) )
9489, 90, 933eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  0 ) )  =  U_ k  e. 
NN0  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u. 
ran  d ) )
95 ss2iun 4285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) )  C_  ( d ^r  k )  ->  U_ k  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k ) )
96 resss 5134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) )  C_  ( d ^r  k )
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) )  C_  ( d ^r  k ) )
9895, 97mprg 2770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u. 
ran  d ) ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )
9994, 98eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  0 ) ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )
100 coiun1 36315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) )  =  U_ k  e. 
NN0  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) )
101 iunss2 4314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  NN0  E. i  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  ( d ^r  i )  ->  U_ k  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r 
1 ) )  C_  U_ i  e.  NN0  (
d ^r  i ) )
102 peano2nn0 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
103 sbcel1v 3314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. ( k  +  1 )  /  i ]. i  e.  NN0  <->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
104102, 103sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  [. (
k  +  1 )  /  i ]. i  e.  NN0 )
105 relexpaddss 36381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  1  e.  NN0  /\  d  e.  _V )  ->  (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  C_  (
d ^r  ( k  +  1 ) ) )
10676, 25, 105mp3an23 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) )  C_  ( d ^r  ( k  +  1 ) ) )
107 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  +  1 )  e. 
_V
108 csbconstg 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  +  1 )  e.  _V  ->  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  =  ( ( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) ) )
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  =  ( ( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )
110 csbov2g 6346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  +  1 )  e.  _V  ->  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
d ^r  i )  =  ( d ^r  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ i
) )
111 csbvarg 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  +  1 )  e.  _V  ->  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ i  =  ( k  +  1 ) )
112111oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  +  1 )  e.  _V  ->  (
d ^r  [_ ( k  +  1 )  /  i ]_ i )  =  ( d ^r  ( k  +  1 ) ) )
113110, 112eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  +  1 )  e.  _V  ->  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
d ^r  i )  =  ( d ^r  ( k  +  1 ) ) )
114107, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
d ^r  i )  =  ( d ^r  ( k  +  1 ) )
115106, 109, 1143sstr4g 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  C_  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
d ^r  i ) )
116 sbcssg 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  +  1 )  e.  _V  ->  ( [. ( k  +  1 )  /  i ]. ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r 
1 ) )  C_  ( d ^r 
i )  <->  [_ ( k  +  1 )  / 
i ]_ ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  [_ ( k  +  1 )  /  i ]_ ( d ^r 
i ) ) )
117107, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. ( k  +  1 )  /  i ]. ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r 
1 ) )  C_  ( d ^r 
i )  <->  [_ ( k  +  1 )  / 
i ]_ ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  [_ ( k  +  1 )  /  i ]_ ( d ^r 
i ) )
118115, 117sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  [. (
k  +  1 )  /  i ]. (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  C_  (
d ^r  i ) )
119 sbcan 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. ( k  +  1 )  /  i ]. ( i  e.  NN0  /\  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r 
1 ) )  C_  ( d ^r 
i ) )  <->  ( [. ( k  +  1 )  /  i ]. i  e.  NN0  /\  [. (
k  +  1 )  /  i ]. (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  C_  (
d ^r  i ) ) )
120104, 118, 119sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  [. (
k  +  1 )  /  i ]. (
i  e.  NN0  /\  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r 
1 ) )  C_  ( d ^r 
i ) ) )
121120spesbcd 3338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  E. i
( i  e.  NN0  /\  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r 
1 ) )  C_  ( d ^r 
i ) ) )
122 df-rex 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. i  e.  NN0  (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  C_  (
d ^r  i )  <->  E. i ( i  e.  NN0  /\  (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  C_  (
d ^r  i ) ) )
123121, 122sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  E. i  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  ( d ^r  i ) )
124101, 123mprg 2770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ k  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  U_ i  e.  NN0  ( d ^r 
i )
125100, 124eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  U_ i  e.  NN0  ( d ^r 
i )
126 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  k  ->  (
d ^r  i )  =  ( d ^r  k ) )
127126cbviunv 4308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ i  e.  NN0  ( d ^r  i )  = 
U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )
128125, 127sseqtri 3450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )
12999, 128unssi 3600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  0 ) )  u.  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) ) )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k )
13086, 129eqsstri 3448 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) )  C_  U_ k  e. 
NN0  ( d ^r  k )
13185, 130syl6ss 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  y )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k )  ->  ( (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  y )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )
132131adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )  -> 
( ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) )  C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k ) )
13384, 132eqsstrd 3452 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )  -> 
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  ( y  +  1 ) ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )
134133ex 441 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  ->  (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  ( y  +  1 ) )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k ) ) )
13560, 62, 64, 66, 81, 134nnind 10649 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k ) )
13658, 135syl5eqss 3462 . . . 4  |-  ( i  e.  NN  ->  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e. 
NN0  ( d ^r  k ) )
13748, 136mprgbir 2771 . . 3  |-  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k )
138 iuneq1 4283 . . . 4  |-  ( NN0  =  ( NN  u.  { 0 ,  1 } )  ->  U_ k  e. 
NN0  ( d ^r  k )  = 
U_ k  e.  ( NN  u.  { 0 ,  1 } ) ( d ^r 
k ) )
13918, 138ax-mp 5 . . 3  |-  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  = 
U_ k  e.  ( NN  u.  { 0 ,  1 } ) ( d ^r 
k )
140137, 139sseqtri 3450 . 2  |-  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  ( NN  u.  { 0 ,  1 } ) ( d ^r  k )
1411, 2, 3, 4, 5, 18, 38, 47, 140comptiunov2i 36369 1  |-  ( t+  o.  r* )  =  t*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255   [_csb 3349    u. cun 3388    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   U_ciun 4269    _I cid 4749   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841    o. ccom 4843  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   NNcn 10631   NN0cn0 10893   t+ctcl 13124   t*crtcl 13125   ^r crelexp 13160   r*crcl 36335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-trcl 13126  df-rtrcl 13127  df-relexp 13161  df-rcl 36336
This theorem is referenced by:  cortrclrcl  36406  cotrclrtrcl  36407  cortrclrtrcl  36408
  Copyright terms: Public domain W3C validator