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Theorem cotrclrcl 35973
Description: The composition of the reflexive and transitive closures is the reflexive-transitive closure. (Contributed by RP, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
cotrclrcl  |-  ( t+  o.  r* )  =  t*

Proof of Theorem cotrclrcl
Dummy variables  a 
b  c  d  i  j  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrcl3 35951 . 2  |-  t+  =  ( a  e.  _V  |->  U_ i  e.  NN  ( a ^r 
i ) )
2 dfrcl4 35907 . 2  |-  r*  =  ( b  e.  _V  |->  U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( b ^r 
j ) )
3 dfrtrcl3 35964 . 2  |-  t*  =  ( c  e.  _V  |->  U_ k  e.  NN0  ( c ^r 
k ) )
4 nnex 10615 . 2  |-  NN  e.  _V
5 prex 4664 . 2  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
6 df-n0 10870 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
7 df-pr 4005 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
87equncomi 3618 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 1 }  u.  { 0 } )
98uneq2i 3623 . . . 4  |-  ( NN  u.  { 0 ,  1 } )  =  ( NN  u.  ( { 1 }  u.  { 0 } ) )
10 unass 3629 . . . 4  |-  ( ( NN  u.  { 1 } )  u.  {
0 } )  =  ( NN  u.  ( { 1 }  u.  { 0 } ) )
11 1nn 10620 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
12 snssi 4147 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { 1 }  C_  NN
14 ssequn2 3645 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  C_  NN  <->  ( NN  u.  { 1 } )  =  NN )
1513, 14mpbi 211 . . . . 5  |-  ( NN  u.  { 1 } )  =  NN
1615uneq1i 3622 . . . 4  |-  ( ( NN  u.  { 1 } )  u.  {
0 } )  =  ( NN  u.  {
0 } )
179, 10, 163eqtr2ri 2465 . . 3  |-  ( NN  u.  { 0 } )  =  ( NN  u.  { 0 ,  1 } )
186, 17eqtri 2458 . 2  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 ,  1 } )
19 oveq2 6313 . . . 4  |-  ( k  =  i  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  i ) )
2019cbviunv 4341 . . 3  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  = 
U_ i  e.  NN  ( d ^r 
i )
21 ss2iun 4318 . . . 4  |-  ( A. i  e.  NN  (
d ^r  i )  C_  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  ->  U_ i  e.  NN  ( d ^r  i )  C_  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
22 1ex 9637 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
2322prid2 4112 . . . . . . 7  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
24 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  1 ) )
25 vex 3090 . . . . . . . . . 10  |-  d  e. 
_V
26 relexp1g 13068 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  _V  ->  (
d ^r  1 )  =  d )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( d ^r  1 )  =  d
2824, 27syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  (
d ^r  j )  =  d )
2928ssiun2s 4346 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { 0 ,  1 }  ->  d  C_ 
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) )
3023, 29ax-mp 5 . . . . . 6  |-  d  C_  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j )
3130a1i 11 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN  ->  d  C_ 
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) )
32 ovex 6333 . . . . . . 7  |-  ( d ^r  j )  e.  _V
335, 32iunex 6787 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN  ->  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  e. 
_V )
35 nnnn0 10876 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  NN0 )
3631, 34, 35relexpss1d 35936 . . . 4  |-  ( i  e.  NN  ->  (
d ^r  i )  C_  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
3721, 36mprg 2795 . . 3  |-  U_ i  e.  NN  ( d ^r  i )  C_  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )
3820, 37eqsstri 3500 . 2  |-  U_ k  e.  NN  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )
39 oveq2 6313 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  1 ) )
40 relexp1g 13068 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j )  e.  _V  ->  (
U_ j  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
j ) ^r 
1 )  =  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) )
4133, 40ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )
42 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  k ) )
4342cbviunv 4341 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  = 
U_ k  e.  {
0 ,  1 }  ( d ^r 
k )
4441, 43eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  1 )  =  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )
4539, 44syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( i  =  1  ->  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k ) )
4645ssiun2s 4346 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i ) )
4711, 46ax-mp 5 . 2  |-  U_ k  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  k )  C_  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )
48 iunss 4343 . . . 4  |-  ( U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e. 
NN0  ( d ^r  k )  <->  A. i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k ) )
49 iuneq1 4316 . . . . . . . 8  |-  ( { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )  ->  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  = 
U_ j  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( d ^r  j ) )
507, 49ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  = 
U_ j  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( d ^r  j )
51 iunxun 4387 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( d ^r  j )  =  ( U_ j  e. 
{ 0 }  (
d ^r  j )  u.  U_ j  e.  { 1 }  (
d ^r  j ) )
52 c0ex 9636 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
53 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  0  ->  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  0 ) )
5452, 53iunxsn 4385 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  { 0 }  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  0 )
5522, 24iunxsn 4385 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  { 1 }  (
d ^r  j )  =  ( d ^r  1 )
5654, 55uneq12i 3624 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  { 0 }  ( d ^r  j )  u. 
U_ j  e.  {
1 }  ( d ^r  j ) )  =  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) )
5750, 51, 563eqtri 2462 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j )  =  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) )
5857oveq1i 6315 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  =  ( ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
i )
59 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  x )  =  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  1 ) )
6059sseq1d 3497 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  x ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  <->  ( (
( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
1 )  C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k ) ) )
61 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  x )  =  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y ) )
6261sseq1d 3497 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  x ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  <->  ( (
( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
y )  C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k ) ) )
63 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  x )  =  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  ( y  +  1 ) ) )
6463sseq1d 3497 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  x ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  <->  ( (
( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
( y  +  1 ) )  C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k ) ) )
65 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  x )  =  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  i ) )
6665sseq1d 3497 . . . . . 6  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  x ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  <->  ( (
( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
i )  C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k ) ) )
67 ovex 6333 . . . . . . . . 9  |-  ( d ^r  0 )  e.  _V
68 ovex 6333 . . . . . . . . 9  |-  ( d ^r  1 )  e.  _V
6967, 68unex 6603 . . . . . . . 8  |-  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) )  e.  _V
70 relexp1g 13068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) )  e.  _V  ->  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  1 )  =  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
1 )  =  ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) )
72 0nn0 10884 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
73 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  0 ) )
7473ssiun2s 4346 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( d ^r  0 ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )
7572, 74ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( d ^r  0 ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )
76 1nn0 10885 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
77 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
d ^r  k )  =  ( d ^r  1 ) )
7877ssiun2s 4346 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( d ^r  1 ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )
7976, 78ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( d ^r  1 ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )
8075, 79unssi 3647 . . . . . . 7  |-  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) )  C_  U_ k  e. 
NN0  ( d ^r  k )
8171, 80eqsstri 3500 . . . . . 6  |-  ( ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
1 )  C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )
82 simpl 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )  -> 
y  e.  NN )
83 relexpsucnnr 13067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) )  e. 
_V  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
( y  +  1 ) )  =  ( ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ) )
8469, 82, 83sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )  -> 
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( ( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ^r 
y )  o.  (
( d ^r 
0 )  u.  (
d ^r  1 ) ) ) )
85 coss1 5010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  y )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k )  ->  ( (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  y )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ) 
C_  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ) )
86 coundi 5356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) )  =  ( (
U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  0 ) )  u.  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) ) )
87 relexp0g 13064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  _V  ->  (
d ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  d  u. 
ran  d ) ) )
8825, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d ^r  0 )  =  (  _I  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) )
8988coeq2i 5015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  0 ) )  =  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  (  _I  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) ) )
90 coiun1 35883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  (  _I  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) ) )  =  U_ k  e. 
NN0  ( ( d ^r  k )  o.  (  _I  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) ) )
91 coires1 5373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d ^r  k )  o.  (  _I  |`  ( dom  d  u. 
ran  d ) ) )  =  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( d ^r  k )  o.  (  _I  |`  ( dom  d  u. 
ran  d ) ) )  =  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) ) )
9392iuneq2i 4321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ k  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  o.  (  _I  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) ) )  =  U_ k  e. 
NN0  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u. 
ran  d ) )
9489, 90, 933eqtri 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  0 ) )  =  U_ k  e. 
NN0  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u. 
ran  d ) )
95 ss2iun 4318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) )  C_  ( d ^r  k )  ->  U_ k  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k ) )
96 resss 5148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) )  C_  ( d ^r  k )
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u.  ran  d ) )  C_  ( d ^r  k ) )
9895, 97mprg 2795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ k  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  |`  ( dom  d  u. 
ran  d ) ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )
9994, 98eqsstri 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  0 ) ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )
100 coiun1 35883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) )  =  U_ k  e. 
NN0  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) )
101 iunss2 4347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  NN0  E. i  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  ( d ^r  i )  ->  U_ k  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r 
1 ) )  C_  U_ i  e.  NN0  (
d ^r  i ) )
102 peano2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
103 sbcel1v 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. ( k  +  1 )  /  i ]. i  e.  NN0  <->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
104102, 103sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  [. (
k  +  1 )  /  i ]. i  e.  NN0 )
105 relexpaddss 35949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  1  e.  NN0  /\  d  e.  _V )  ->  (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  C_  (
d ^r  ( k  +  1 ) ) )
10676, 25, 105mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) )  C_  ( d ^r  ( k  +  1 ) ) )
107 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  +  1 )  e. 
_V
108 csbconstg 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  +  1 )  e.  _V  ->  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  =  ( ( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) ) )
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  =  ( ( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )
110 csbov2g 6343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  +  1 )  e.  _V  ->  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
d ^r  i )  =  ( d ^r  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ i
) )
111 csbvarg 3826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  +  1 )  e.  _V  ->  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ i  =  ( k  +  1 ) )
112111oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  +  1 )  e.  _V  ->  (
d ^r  [_ ( k  +  1 )  /  i ]_ i )  =  ( d ^r  ( k  +  1 ) ) )
113110, 112eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  +  1 )  e.  _V  ->  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
d ^r  i )  =  ( d ^r  ( k  +  1 ) ) )
114107, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
d ^r  i )  =  ( d ^r  ( k  +  1 ) )
115106, 109, 1143sstr4g 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  C_  [_ (
k  +  1 )  /  i ]_ (
d ^r  i ) )
116 sbcssg 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  +  1 )  e.  _V  ->  ( [. ( k  +  1 )  /  i ]. ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r 
1 ) )  C_  ( d ^r 
i )  <->  [_ ( k  +  1 )  / 
i ]_ ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  [_ ( k  +  1 )  /  i ]_ ( d ^r 
i ) ) )
117107, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. ( k  +  1 )  /  i ]. ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r 
1 ) )  C_  ( d ^r 
i )  <->  [_ ( k  +  1 )  / 
i ]_ ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  [_ ( k  +  1 )  /  i ]_ ( d ^r 
i ) )
118115, 117sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  [. (
k  +  1 )  /  i ]. (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  C_  (
d ^r  i ) )
119 sbcan 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. ( k  +  1 )  /  i ]. ( i  e.  NN0  /\  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r 
1 ) )  C_  ( d ^r 
i ) )  <->  ( [. ( k  +  1 )  /  i ]. i  e.  NN0  /\  [. (
k  +  1 )  /  i ]. (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  C_  (
d ^r  i ) ) )
120104, 118, 119sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  [. (
k  +  1 )  /  i ]. (
i  e.  NN0  /\  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r 
1 ) )  C_  ( d ^r 
i ) ) )
121120spesbcd 3388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  E. i
( i  e.  NN0  /\  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r 
1 ) )  C_  ( d ^r 
i ) ) )
122 df-rex 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. i  e.  NN0  (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  C_  (
d ^r  i )  <->  E. i ( i  e.  NN0  /\  (
( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) )  C_  (
d ^r  i ) ) )
123121, 122sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  E. i  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  ( d ^r  i ) )
124101, 123mprg 2795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ k  e.  NN0  ( ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  U_ i  e.  NN0  ( d ^r 
i )
125100, 124eqsstri 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  U_ i  e.  NN0  ( d ^r 
i )
126 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  k  ->  (
d ^r  i )  =  ( d ^r  k ) )
127126cbviunv 4341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ i  e.  NN0  ( d ^r  i )  = 
U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )
128125, 127sseqtri 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( d ^r  1 ) ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )
12999, 128unssi 3647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  0 ) )  u.  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  o.  (
d ^r  1 ) ) )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k )
13086, 129eqsstri 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) )  C_  U_ k  e. 
NN0  ( d ^r  k )
13185, 130syl6ss 3482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  y )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k )  ->  ( (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  y )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )
132131adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )  -> 
( ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y )  o.  ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) )  C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k ) )
13384, 132eqsstrd 3504 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )  -> 
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  ( y  +  1 ) ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k ) )
134133ex 435 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r  1 ) ) ^r  y ) 
C_  U_ k  e.  NN0  ( d ^r 
k )  ->  (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  ( y  +  1 ) )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k ) ) )
13560, 62, 64, 66, 81, 134nnind 10627 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( ( d ^r  0 )  u.  ( d ^r 
1 ) ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k ) )
13658, 135syl5eqss 3514 . . . 4  |-  ( i  e.  NN  ->  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  (
d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e. 
NN0  ( d ^r  k ) )
13748, 136mprgbir 2796 . . 3  |-  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  NN0  (
d ^r  k )
138 iuneq1 4316 . . . 4  |-  ( NN0  =  ( NN  u.  { 0 ,  1 } )  ->  U_ k  e. 
NN0  ( d ^r  k )  = 
U_ k  e.  ( NN  u.  { 0 ,  1 } ) ( d ^r 
k ) )
13918, 138ax-mp 5 . . 3  |-  U_ k  e.  NN0  ( d ^r  k )  = 
U_ k  e.  ( NN  u.  { 0 ,  1 } ) ( d ^r 
k )
140137, 139sseqtri 3502 . 2  |-  U_ i  e.  NN  ( U_ j  e.  { 0 ,  1 }  ( d ^r  j ) ^r  i )  C_  U_ k  e.  ( NN  u.  { 0 ,  1 } ) ( d ^r  k )
1411, 2, 3, 4, 5, 18, 38, 47, 140comptiunov2i 35937 1  |-  ( t+  o.  r* )  =  t*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   E.wrex 2783   _Vcvv 3087   [.wsbc 3305   [_csb 3401    u. cun 3440    C_ wss 3442   {csn 4002   {cpr 4004   U_ciun 4302    _I cid 4764   dom cdm 4854   ran crn 4855    |` cres 4856    o. ccom 4858  (class class class)co 6305   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541   NNcn 10609   NN0cn0 10869   t+ctcl 13028   t*crtcl 13029   ^r crelexp 13062   r*crcl 35903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12211  df-trcl 13030  df-rtrcl 13031  df-relexp 13063  df-rcl 35904
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