Theorem cotrOLD 4303

Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51.

Assertion

Ref	Expression
cotrOLD	|- ((R o. R) C_ R <-> A.xA.yA.z((xRy /\ yRz) -> xRz))

Distinct variable group:   x,y,z,R

Proof of Theorem cotrOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2615	. . . . . . . 8 |- ({<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} C_ R -> (<.x, z>. e. {<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} -> <.x, z>. e. R))
2		df-br 3339	. . . . . . . 8 |- (xRz <-> <.x, z>. e. R)
3	1, 2	syl6ibr 230	. . . . . . 7 |- ({<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} C_ R -> (<.x, z>. e. {<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} -> xRz))
4		opabid 3557	. . . . . . 7 |- (<.x, z>. e. {<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} <-> E.y(xRy /\ yRz))
5	3, 4	syl5ibr 224	. . . . . 6 |- ({<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} C_ R -> (E.y(xRy /\ yRz) -> xRz))
6		df-co 4003	. . . . . . 7 |- (R o. R) = {<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)}
7	6	sseq1i 2641	. . . . . 6 |- ((R o. R) C_ R <-> {<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} C_ R)
8		19.23v 1672	. . . . . 6 |- (A.y((xRy /\ yRz) -> xRz) <-> (E.y(xRy /\ yRz) -> xRz))
9	5, 7, 8	3imtr4i 236	. . . . 5 |- ((R o. R) C_ R -> A.y((xRy /\ yRz) -> xRz))
10	9	19.21aiv 1664	. . . 4 |- ((R o. R) C_ R -> A.zA.y((xRy /\ yRz) -> xRz))
11		alcom 1379	. . . 4 |- (A.yA.z((xRy /\ yRz) -> xRz) <-> A.zA.y((xRy /\ yRz) -> xRz))
12	10, 11	sylibr 217	. . 3 |- ((R o. R) C_ R -> A.yA.z((xRy /\ yRz) -> xRz))
13	12	19.21aiv 1664	. 2 |- ((R o. R) C_ R -> A.xA.yA.z((xRy /\ yRz) -> xRz))
14		ssopab2 3573	. . . . 5 |- ({<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} C_ {<.x, z>. | xRz} <-> A.xA.z(E.y(xRy /\ yRz) -> xRz))
15	8	albii 1346	. . . . . . 7 |- (A.zA.y((xRy /\ yRz) -> xRz) <-> A.z(E.y(xRy /\ yRz) -> xRz))
16	11, 15	bitri 190	. . . . . 6 |- (A.yA.z((xRy /\ yRz) -> xRz) <-> A.z(E.y(xRy /\ yRz) -> xRz))
17	16	albii 1346	. . . . 5 |- (A.xA.yA.z((xRy /\ yRz) -> xRz) <-> A.xA.z(E.y(xRy /\ yRz) -> xRz))
18	14, 17	bitr4i 193	. . . 4 |- ({<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} C_ {<.x, z>. | xRz} <-> A.xA.yA.z((xRy /\ yRz) -> xRz))
19		opabss 3397	. . . . 5 |- {<.x, z>. | xRz} C_ R
20		sstr2 2623	. . . . 5 |- ({<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} C_ {<.x, z>. | xRz} -> ({<.x, z>. | xRz} C_ R -> {<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} C_ R))
21	19, 20	mpi 55	. . . 4 |- ({<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} C_ {<.x, z>. | xRz} -> {<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} C_ R)
22	18, 21	sylbir 218	. . 3 |- (A.xA.yA.z((xRy /\ yRz) -> xRz) -> {<.x, z>. | E.y(xRy /\ yRz)} C_ R)
23	22, 6	syl5ss 2661	. 2 |- (A.xA.yA.z((xRy /\ yRz) -> xRz) -> (R o. R) C_ R)
24	13, 23	impbii 174	1 |- ((R o. R) C_ R <-> A.xA.yA.z((xRy /\ yRz) -> xRz))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   e. wcel 1300  E.wex 1326   C_ wss 2593  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395   o. ccom 3990

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-co 4003

Copyright terms: Public domain