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Theorem cotr2g 12814
Description: Two ways of saying that the composition of two relations is included in a third relation. See its special instance cotr2 12815 for the main application. (Contributed by RP, 22-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cotr2g.d  |-  dom  B  C_  D
cotr2g.e  |-  ( ran 
B  i^i  dom  A ) 
C_  E
cotr2g.f  |-  ran  A  C_  F
Assertion
Ref Expression
cotr2g  |-  ( ( A  o.  B ) 
C_  C  <->  A. x  e.  D  A. y  e.  E  A. z  e.  F  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, y, z    x, D, y, z    y, E, z   
z, F
Allowed substitution hints:    E( x)    F( x, y)

Proof of Theorem cotr2g
StepHypRef Expression
1 cotrg 5291 . 2  |-  ( ( A  o.  B ) 
C_  C  <->  A. x A. y A. z ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C
z ) )
2 nfv 1715 . . . . . 6  |-  F/ y  x  e.  D
3 nfv 1715 . . . . . 6  |-  F/ z  x  e.  D
42, 319.21-2 1914 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( x  e.  D  ->  (
y  e.  E  -> 
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )  <->  ( x  e.  D  ->  A. y A. z ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
54albii 1648 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( x  e.  D  ->  ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )  <->  A. x
( x  e.  D  ->  A. y A. z
( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
6 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x B y )
7 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  -> 
( x B y  /\  y A z ) )
8 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  -> 
y A z )
96, 7, 83jca 1174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  -> 
( x B y  /\  ( x B y  /\  y A z )  /\  y A z ) )
10 simp2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x B y  /\  ( x B y  /\  y A z )  /\  y A z )  ->  (
x B y  /\  y A z ) )
119, 10impbii 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  <->  ( x B y  /\  (
x B y  /\  y A z )  /\  y A z ) )
12 cotr2g.d . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  B  C_  D
13 vex 3037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
14 vex 3037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
1513, 14breldm 5120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x B y  ->  x  e.  dom  B )
1612, 15sseldi 3415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x B y  ->  x  e.  D )
1716pm4.71ri 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( x B y  <->  ( x  e.  D  /\  x B y ) )
18 cotr2g.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
B  i^i  dom  A ) 
C_  E
1913, 14brelrn 5146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x B y  ->  y  e.  ran  B )
20 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
2114, 20breldm 5120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y A z  ->  y  e.  dom  A )
22 elin 3601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ran  B  i^i  dom  A )  <->  ( y  e.  ran  B  /\  y  e.  dom  A ) )
2322biimpri 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ran  B  /\  y  e.  dom  A )  ->  y  e.  ( ran  B  i^i  dom  A ) )
2419, 21, 23syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  -> 
y  e.  ( ran 
B  i^i  dom  A ) )
2518, 24sseldi 3415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  -> 
y  e.  E )
2625pm4.71ri 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  <->  ( y  e.  E  /\  (
x B y  /\  y A z ) ) )
27 cotr2g.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  A  C_  F
2814, 20brelrn 5146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y A z  ->  z  e.  ran  A )
2927, 28sseldi 3415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y A z  ->  z  e.  F )
3029pm4.71ri 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( y A z  <->  ( z  e.  F  /\  y A z ) )
3117, 26, 303anbi123i 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x B y  /\  ( x B y  /\  y A z )  /\  y A z )  <->  ( (
x  e.  D  /\  x B y )  /\  ( y  e.  E  /\  ( x B y  /\  y A z ) )  /\  (
z  e.  F  /\  y A z ) ) )
32 3an6 1307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  D  /\  x B y )  /\  ( y  e.  E  /\  ( x B y  /\  y A z ) )  /\  ( z  e.  F  /\  y A z ) )  <->  ( (
x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F )  /\  ( x B y  /\  ( x B y  /\  y A z )  /\  y A z ) ) )
3310, 9impbii 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x B y  /\  ( x B y  /\  y A z )  /\  y A z )  <->  ( x B y  /\  y A z ) )
3433anbi2i 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F
)  /\  ( x B y  /\  (
x B y  /\  y A z )  /\  y A z ) )  <-> 
( ( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F )  /\  (
x B y  /\  y A z ) ) )
3532, 34bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  D  /\  x B y )  /\  ( y  e.  E  /\  ( x B y  /\  y A z ) )  /\  ( z  e.  F  /\  y A z ) )  <->  ( (
x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F )  /\  ( x B y  /\  y A z ) ) )
3611, 31, 353bitri 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  <->  ( (
x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F )  /\  ( x B y  /\  y A z ) ) )
3736imbi1i 323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C
z )  <->  ( (
( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F
)  /\  ( x B y  /\  y A z ) )  ->  x C z ) )
38 impexp 444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F )  /\  (
x B y  /\  y A z ) )  ->  x C z )  <->  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F )  ->  (
( x B y  /\  y A z )  ->  x C
z ) ) )
39 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F
)  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  ->  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F )  ->  (
( x B y  /\  y A z )  ->  x C
z ) ) )
40393expd 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F
)  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  ->  ( x  e.  D  ->  ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  (
( x B y  /\  y A z )  ->  x C
z ) ) ) ) )
41 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  D  -> 
( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )  ->  (
x  e.  D  -> 
( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
42413impd 1208 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  -> 
( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )  ->  (
( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F
)  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )
4340, 42impbii 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F
)  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  <-> 
( x  e.  D  ->  ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
4437, 38, 433bitri 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C
z )  <->  ( x  e.  D  ->  ( y  e.  E  ->  (
z  e.  F  -> 
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
4544albii 1648 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z )  <->  A. z
( x  e.  D  ->  ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
46452albii 1649 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z )  <->  A. x A. y A. z ( x  e.  D  -> 
( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
47 df-ral 2737 . . . 4  |-  ( A. x  e.  D  A. y A. z ( y  e.  E  ->  (
z  e.  F  -> 
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )  <->  A. x ( x  e.  D  ->  A. y A. z ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
485, 46, 473bitr4i 277 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z )  <->  A. x  e.  D  A. y A. z ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )
49 df-ral 2737 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  E  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  <->  A. y ( y  e.  E  ->  A. z
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )
50 19.21v 1737 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )  <->  ( y  e.  E  ->  A. z
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )
5150bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  E  ->  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )  <->  A. z ( y  e.  E  ->  (
z  e.  F  -> 
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )
5251albii 1648 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e.  E  ->  A. z
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )  <->  A. y A. z
( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )
5349, 52bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  E  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  <->  A. y A. z ( y  e.  E  -> 
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )
5453bicomi 202 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( y  e.  E  ->  (
z  e.  F  -> 
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )  <->  A. y  e.  E  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )
5554ralbii 2813 . . 3  |-  ( A. x  e.  D  A. y A. z ( y  e.  E  ->  (
z  e.  F  -> 
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )  <->  A. x  e.  D  A. y  e.  E  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )
5648, 55bitri 249 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z )  <->  A. x  e.  D  A. y  e.  E  A. z
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )
57 df-ral 2737 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  F  (
( x B y  /\  y A z )  ->  x C
z )  <->  A. z
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )
5857bicomi 202 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  <->  A. z  e.  F  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )
5958ralbii 2813 . . 3  |-  ( A. y  e.  E  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  <->  A. y  e.  E  A. z  e.  F  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )
6059ralbii 2813 . 2  |-  ( A. x  e.  D  A. y  e.  E  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  <->  A. x  e.  D  A. y  e.  E  A. z  e.  F  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )
611, 56, 603bitri 271 1  |-  ( ( A  o.  B ) 
C_  C  <->  A. x  e.  D  A. y  e.  E  A. z  e.  F  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1397    e. wcel 1826   A.wral 2732    i^i cin 3388    C_ wss 3389   class class class wbr 4367   dom cdm 4913   ran crn 4914    o. ccom 4917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-br 4368  df-opab 4426  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924
This theorem is referenced by:  cotr2  12815
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