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Theorem cotr2g 13115
Description: Two ways of saying that the composition of two relations is included in a third relation. See its special instance cotr2 13116 for the main application. (Contributed by RP, 22-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cotr2g.d  |-  dom  B  C_  D
cotr2g.e  |-  ( ran 
B  i^i  dom  A ) 
C_  E
cotr2g.f  |-  ran  A  C_  F
Assertion
Ref Expression
cotr2g  |-  ( ( A  o.  B ) 
C_  C  <->  A. x  e.  D  A. y  e.  E  A. z  e.  F  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, y, z    x, D, y, z    y, E, z   
z, F
Allowed substitution hints:    E( x)    F( x, y)

Proof of Theorem cotr2g
StepHypRef Expression
1 cotrg 5217 . 2  |-  ( ( A  o.  B ) 
C_  C  <->  A. x A. y A. z ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C
z ) )
2 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ y  x  e.  D
3 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ z  x  e.  D
42, 319.21-2 2008 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( x  e.  D  ->  (
y  e.  E  -> 
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )  <->  ( x  e.  D  ->  A. y A. z ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
54albii 1699 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( x  e.  D  ->  ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )  <->  A. x
( x  e.  D  ->  A. y A. z
( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
6 simpl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x B y )
7 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  -> 
( x B y  /\  y A z ) )
8 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  -> 
y A z )
96, 7, 83jca 1210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  -> 
( x B y  /\  ( x B y  /\  y A z )  /\  y A z ) )
10 simp2 1031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x B y  /\  ( x B y  /\  y A z )  /\  y A z )  ->  (
x B y  /\  y A z ) )
119, 10impbii 192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  <->  ( x B y  /\  (
x B y  /\  y A z )  /\  y A z ) )
12 cotr2g.d . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  B  C_  D
13 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
14 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
1513, 14breldm 5045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x B y  ->  x  e.  dom  B )
1612, 15sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x B y  ->  x  e.  D )
1716pm4.71ri 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( x B y  <->  ( x  e.  D  /\  x B y ) )
18 cotr2g.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
B  i^i  dom  A ) 
C_  E
1913, 14brelrn 5071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x B y  ->  y  e.  ran  B )
20 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
2114, 20breldm 5045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y A z  ->  y  e.  dom  A )
22 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ran  B  i^i  dom  A )  <->  ( y  e.  ran  B  /\  y  e.  dom  A ) )
2322biimpri 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ran  B  /\  y  e.  dom  A )  ->  y  e.  ( ran  B  i^i  dom  A ) )
2419, 21, 23syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  -> 
y  e.  ( ran 
B  i^i  dom  A ) )
2518, 24sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  -> 
y  e.  E )
2625pm4.71ri 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  <->  ( y  e.  E  /\  (
x B y  /\  y A z ) ) )
27 cotr2g.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  A  C_  F
2814, 20brelrn 5071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y A z  ->  z  e.  ran  A )
2927, 28sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y A z  ->  z  e.  F )
3029pm4.71ri 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( y A z  <->  ( z  e.  F  /\  y A z ) )
3117, 26, 303anbi123i 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x B y  /\  ( x B y  /\  y A z )  /\  y A z )  <->  ( (
x  e.  D  /\  x B y )  /\  ( y  e.  E  /\  ( x B y  /\  y A z ) )  /\  (
z  e.  F  /\  y A z ) ) )
32 3an6 1375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  D  /\  x B y )  /\  ( y  e.  E  /\  ( x B y  /\  y A z ) )  /\  ( z  e.  F  /\  y A z ) )  <->  ( (
x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F )  /\  ( x B y  /\  ( x B y  /\  y A z )  /\  y A z ) ) )
3310, 9impbii 192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x B y  /\  ( x B y  /\  y A z )  /\  y A z )  <->  ( x B y  /\  y A z ) )
3433anbi2i 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F
)  /\  ( x B y  /\  (
x B y  /\  y A z )  /\  y A z ) )  <-> 
( ( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F )  /\  (
x B y  /\  y A z ) ) )
3532, 34bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  D  /\  x B y )  /\  ( y  e.  E  /\  ( x B y  /\  y A z ) )  /\  ( z  e.  F  /\  y A z ) )  <->  ( (
x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F )  /\  ( x B y  /\  y A z ) ) )
3611, 31, 353bitri 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x B y  /\  y A z )  <->  ( (
x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F )  /\  ( x B y  /\  y A z ) ) )
3736imbi1i 332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C
z )  <->  ( (
( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F
)  /\  ( x B y  /\  y A z ) )  ->  x C z ) )
38 impexp 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F )  /\  (
x B y  /\  y A z ) )  ->  x C z )  <->  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F )  ->  (
( x B y  /\  y A z )  ->  x C
z ) ) )
39 3impexp 1255 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  D  /\  y  e.  E  /\  z  e.  F
)  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  <-> 
( x  e.  D  ->  ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
4037, 38, 393bitri 279 . . . . . 6  |-  ( ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C
z )  <->  ( x  e.  D  ->  ( y  e.  E  ->  (
z  e.  F  -> 
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
4140albii 1699 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z )  <->  A. z
( x  e.  D  ->  ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
42412albii 1700 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z )  <->  A. x A. y A. z ( x  e.  D  -> 
( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
43 df-ral 2761 . . . 4  |-  ( A. x  e.  D  A. y A. z ( y  e.  E  ->  (
z  e.  F  -> 
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )  <->  A. x ( x  e.  D  ->  A. y A. z ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) ) )
445, 42, 433bitr4i 285 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z )  <->  A. x  e.  D  A. y A. z ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )
45 df-ral 2761 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  E  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  <->  A. y ( y  e.  E  ->  A. z
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )
46 19.21v 1794 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )  <->  ( y  e.  E  ->  A. z
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )
4746bicomi 207 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  E  ->  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )  <->  A. z ( y  e.  E  ->  (
z  e.  F  -> 
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )
4847albii 1699 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e.  E  ->  A. z
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )  <->  A. y A. z
( y  e.  E  ->  ( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )
4945, 48bitri 257 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  E  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  <->  A. y A. z ( y  e.  E  -> 
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) ) )
5049bicomi 207 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( y  e.  E  ->  (
z  e.  F  -> 
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )  <->  A. y  e.  E  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )
5150ralbii 2823 . . 3  |-  ( A. x  e.  D  A. y A. z ( y  e.  E  ->  (
z  e.  F  -> 
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )  <->  A. x  e.  D  A. y  e.  E  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )
5244, 51bitri 257 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z )  <->  A. x  e.  D  A. y  e.  E  A. z
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )
53 df-ral 2761 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  F  (
( x B y  /\  y A z )  ->  x C
z )  <->  A. z
( z  e.  F  ->  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) ) )
5453bicomi 207 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  <->  A. z  e.  F  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )
5554ralbii 2823 . . 3  |-  ( A. y  e.  E  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  <->  A. y  e.  E  A. z  e.  F  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )
5655ralbii 2823 . 2  |-  ( A. x  e.  D  A. y  e.  E  A. z ( z  e.  F  ->  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )  <->  A. x  e.  D  A. y  e.  E  A. z  e.  F  ( ( x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )
571, 52, 563bitri 279 1  |-  ( ( A  o.  B ) 
C_  C  <->  A. x  e.  D  A. y  e.  E  A. z  e.  F  ( (
x B y  /\  y A z )  ->  x C z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    e. wcel 1904   A.wral 2756    i^i cin 3389    C_ wss 3390   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840    o. ccom 4843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-br 4396  df-opab 4455  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850
This theorem is referenced by:  cotr2  13116
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