MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cossub Structured version   Unicode version

Theorem cossub 13754
Description: Cosine of difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cossub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  -  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )

Proof of Theorem cossub
StepHypRef Expression
1 negcl 9809 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
2 cosadd 13750 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) ) )
31, 2sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) ) )
4 negsub 9856 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
54fveq2d 5861 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  -u B ) )  =  ( cos `  ( A  -  B
) ) )
6 cosneg 13732 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  -u B )  =  ( cos `  B
) )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  -u B
)  =  ( cos `  B ) )
87oveq2d 6291 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  =  ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) ) )
9 sinneg 13731 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  -u B )  = 
-u ( sin `  B
) )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  -u B
)  =  -u ( sin `  B ) )
1110oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  -u B ) )  =  ( ( sin `  A )  x.  -u ( sin `  B ) ) )
12 sincl 13711 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
13 sincl 13711 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  B )  e.  CC )
14 mulneg2 9983 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  A
)  x.  -u ( sin `  B ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  -u ( sin `  B ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
1611, 15eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  -u B ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
178, 16oveq12d 6293 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  -u ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
18 coscl 13712 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
19 coscl 13712 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  B )  e.  CC )
20 mulcl 9565 . . . . 5  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( cos `  B )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
2118, 19, 20syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
22 mulcl 9565 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
2312, 13, 22syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
2421, 23subnegd 9926 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  -  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
2517, 24eqtrd 2501 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
263, 5, 253eqtr3d 2509 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  -  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9794   -ucneg 9795   sincsin 13650   cosccos 13651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ico 11524  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657
This theorem is referenced by:  sinmul  13757  cosmul  13758  addcos  13759  subcos  13760  cosmpi  22607  coshalfpim  22614  fourierdlem83  31445
  Copyright terms: Public domain W3C validator