MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cossub Structured version   Unicode version

Theorem cossub 14113
Description: Cosine of difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cossub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  -  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )

Proof of Theorem cossub
StepHypRef Expression
1 negcl 9856 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
2 cosadd 14109 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) ) )
31, 2sylan2 472 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) ) )
4 negsub 9903 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
54fveq2d 5853 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  -u B ) )  =  ( cos `  ( A  -  B
) ) )
6 cosneg 14091 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  -u B )  =  ( cos `  B
) )
76adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  -u B
)  =  ( cos `  B ) )
87oveq2d 6294 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  =  ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) ) )
9 sinneg 14090 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  -u B )  = 
-u ( sin `  B
) )
109adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  -u B
)  =  -u ( sin `  B ) )
1110oveq2d 6294 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  -u B ) )  =  ( ( sin `  A )  x.  -u ( sin `  B ) ) )
12 sincl 14070 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
13 sincl 14070 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  B )  e.  CC )
14 mulneg2 10035 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  A
)  x.  -u ( sin `  B ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
1512, 13, 14syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  -u ( sin `  B ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
1611, 15eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  -u B ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
178, 16oveq12d 6296 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  -u ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
18 coscl 14071 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
19 coscl 14071 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  B )  e.  CC )
20 mulcl 9606 . . . . 5  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( cos `  B )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
2118, 19, 20syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
22 mulcl 9606 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
2312, 13, 22syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
2421, 23subnegd 9974 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  -  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
2517, 24eqtrd 2443 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
263, 5, 253eqtr3d 2451 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  -  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520    + caddc 9525    x. cmul 9527    - cmin 9841   -ucneg 9842   sincsin 14008   cosccos 14009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-ico 11588  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015
This theorem is referenced by:  sinmul  14116  cosmul  14117  addcos  14118  subcos  14119  cosmpi  23173  coshalfpim  23180  fourierdlem83  37340
  Copyright terms: Public domain W3C validator