MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cossub Structured version   Unicode version

Theorem cossub 13474
Description: Cosine of difference. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cossub  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  -  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )

Proof of Theorem cossub
StepHypRef Expression
1 negcl 9631 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
2 cosadd 13470 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) ) )
31, 2sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  -u B ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) ) )
4 negsub 9678 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B ) )
54fveq2d 5716 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  +  -u B ) )  =  ( cos `  ( A  -  B
) ) )
6 cosneg 13452 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  -u B )  =  ( cos `  B
) )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  -u B
)  =  ( cos `  B ) )
87oveq2d 6128 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  -u B ) )  =  ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) ) )
9 sinneg 13451 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  -u B )  = 
-u ( sin `  B
) )
109adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( sin `  -u B
)  =  -u ( sin `  B ) )
1110oveq2d 6128 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  -u B ) )  =  ( ( sin `  A )  x.  -u ( sin `  B ) ) )
12 sincl 13431 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
13 sincl 13431 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  ( sin `  B )  e.  CC )
14 mulneg2 9803 . . . . . 6  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  A
)  x.  -u ( sin `  B ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  -u ( sin `  B ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
1611, 15eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  -u B ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )
178, 16oveq12d 6130 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  -  -u ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
18 coscl 13432 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
19 coscl 13432 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( cos `  B )  e.  CC )
20 mulcl 9387 . . . . 5  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( cos `  B )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
2118, 19, 20syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  e.  CC )
22 mulcl 9387 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  B )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
2312, 13, 22syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) )  e.  CC )
2421, 23subnegd 9747 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  B ) )  -  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
2517, 24eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( cos `  -u B ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  -u B ) ) )  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
263, 5, 253eqtr3d 2483 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  -  B )
)  =  ( ( ( cos `  A
)  x.  ( cos `  B ) )  +  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301    + caddc 9306    x. cmul 9308    - cmin 9616   -ucneg 9617   sincsin 13370   cosccos 13371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-ico 11327  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-sin 13376  df-cos 13377
This theorem is referenced by:  sinmul  13477  cosmul  13478  addcos  13479  subcos  13480  cosmpi  21972  coshalfpim  21979
  Copyright terms: Public domain W3C validator