MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosq14gt0 Structured version   Unicode version

Theorem cosq14gt0 23087
Description: The cosine of a number strictly between  -u pi  /  2 and  pi  /  2 is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosq14gt0  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( cos `  A ) )

Proof of Theorem cosq14gt0
StepHypRef Expression
1 halfpire 23041 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
2 elioore 11530 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  e.  RR )
3 resubcl 9839 . . . . 5  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR )
41, 2, 3sylancr 661 . . . 4  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR )
5 neghalfpirx 23043 . . . . . . 7  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
61rexri 9596 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
7 elioo2 11541 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( A  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  A  /\  A  <  ( pi  /  2
) ) ) )
85, 6, 7mp2an 670 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <  A  /\  A  <  ( pi  /  2
) ) )
98simp3bi 1014 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  <  ( pi  / 
2 ) )
10 posdif 10006 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  < 
( pi  /  2
)  <->  0  <  (
( pi  /  2
)  -  A ) ) )
112, 1, 10sylancl 660 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( A  <  (
pi  /  2 )  <->  0  <  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )
129, 11mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( (
pi  /  2 )  -  A ) )
13 picn 23036 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
14 halfcl 10725 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
1615negcli 9843 . . . . . . 7  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  CC
1713, 15negsubi 9853 . . . . . . . 8  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  -  (
pi  /  2 ) )
18 pidiv2halves 23044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
1913, 15, 15, 18subaddrii 9865 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2017, 19eqtri 2431 . . . . . . 7  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2115, 13, 16, 20subaddrii 9865 . . . . . 6  |-  ( ( pi  /  2 )  -  pi )  = 
-u ( pi  / 
2 )
228simp2bi 1013 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  <  A )
2321, 22syl5eqbr 4427 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <  A )
24 pire 23035 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
25 ltsub23 9993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  <  pi  <->  ( (
pi  /  2 )  -  pi )  < 
A ) )
261, 24, 25mp3an13 1317 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  <  pi  <->  ( (
pi  /  2 )  -  pi )  < 
A ) )
272, 26syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  <  pi  <->  ( ( pi  /  2
)  -  pi )  <  A ) )
2823, 27mpbird 232 . . . 4  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  <  pi )
29 0xr 9590 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
3024rexri 9596 . . . . 5  |-  pi  e.  RR*
31 elioo2 11541 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( pi  /  2
)  -  A )  e.  RR  /\  0  <  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /\  ( (
pi  /  2 )  -  A )  < 
pi ) ) )
3229, 30, 31mp2an 670 . . . 4  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( pi  /  2
)  -  A )  e.  RR  /\  0  <  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /\  ( (
pi  /  2 )  -  A )  < 
pi ) )
334, 12, 28, 32syl3anbrc 1181 . . 3  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  ( 0 (,) pi ) )
34 sinq12gt0 23084 . . 3  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  (
( pi  /  2
)  -  A ) ) )
3533, 34syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
362recnd 9572 . . 3  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  e.  CC )
37 sinhalfpim 23070 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  -  A ) )  =  ( cos `  A
) )
3836, 37syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( sin `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  ( cos `  A ) )
3935, 38breqtrd 4418 1  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( cos `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442    + caddc 9445   RR*cxr 9577    < clt 9578    - cmin 9761   -ucneg 9762    / cdiv 10167   2c2 10546   (,)cioo 11500   sincsin 13900   cosccos 13901   picpi 13903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ioc 11505  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-bc 12335  df-hash 12360  df-shft 12956  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-limsup 13350  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-ef 13904  df-sin 13906  df-cos 13907  df-pi 13909  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-haus 20001  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-limc 22454  df-dv 22455
This theorem is referenced by:  tanord1  23108  logcnlem4  23212  asinsinlem  23439
  Copyright terms: Public domain W3C validator