MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosq14ge0 Structured version   Unicode version
Theorem cosq14ge0 21978
Description: The cosine of a number between -u pi / 2 and pi / 2 is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
cosq14ge0 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` A ) )
Proof of Theorem cosq14ge0
StepHypRef Expression
1 halfpire 21931 . . . . 5 |- ( pi / 2 ) e. RR
2 neghalfpire 21932 . . . . . . 7 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
32, 1elicc2i 11366 . . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) <-> ( A e. RR /\ -u ( pi / 2 ) <_ A /\ A <_ ( pi / 2 ) ) )
43simp1bi 1003 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> A e. RR )
5 resubcl 9678 . . . . 5 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
61, 4, 5sylancr 663 . . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR )
73simp3bi 1005 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> A <_ ( pi / 2 ) )
8 subge0 9857 . . . . . 6 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A <_ ( pi / 2 ) ) )
91, 4, 8sylancr 663 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( 0 <_ ( ( pi / 2 ) - A ) <-> A <_ ( pi / 2 ) ) )
107, 9mpbird 232 . . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( ( pi / 2 ) - A ) )
11 picn 21927 . . . . . . . 8 |- pi e. CC
12 halfcl 10555 . . . . . . . 8 |- ( pi e. CC -> ( pi / 2 ) e. CC )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. CC
1413negcli 9681 . . . . . . 7 |- -u ( pi / 2 ) e. CC
1511, 13negsubi 9691 . . . . . . . 8 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi - ( pi / 2 ) )
16 pidiv2halves 21934 . . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 2 ) + ( pi / 2 ) ) = pi
1711, 13, 13, 16subaddrii 9702 . . . . . . . 8 |- ( pi - ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
1815, 17eqtri 2463 . . . . . . 7 |- ( pi + -u ( pi / 2 ) ) = ( pi / 2 )
1913, 11, 14, 18subaddrii 9702 . . . . . 6 |- ( ( pi / 2 ) - pi ) = -u ( pi / 2 )
203simp2bi 1004 . . . . . 6 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> -u ( pi / 2 ) <_ A )
2119, 20syl5eqbr 4330 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - pi ) <_ A )
22 pire 21926 . . . . . . 7 |- pi e. RR
23 suble 9822 . . . . . . 7 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ A e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) <_ pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) <_ A ) )
241, 22, 23mp3an13 1305 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) <_ pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) <_ A ) )
254, 24syl 16 . . . . 5 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( ( pi / 2 ) - A ) <_ pi <-> ( ( pi / 2 ) - pi ) <_ A ) )
2621, 25mpbird 232 . . . 4 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) <_ pi )
27 0re 9391 . . . . 5 |- 0 e. RR
2827, 22elicc2i 11366 . . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) <-> ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. RR /\ 0 <_ ( ( pi / 2 ) - A ) /\ ( ( pi / 2 ) - A ) <_ pi ) )
296, 10, 26, 28syl3anbrc 1172 . . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) )
30 sinq12ge0 21975 . . 3 |- ( ( ( pi / 2 ) - A ) e. ( 0 [,] pi ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
3129, 30syl 16 . 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) )
324recnd 9417 . . 3 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> A e. CC )
33 sinhalfpim 21960 . . 3 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
3432, 33syl 16 . 2 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( sin ` ( ( pi / 2 ) - A ) ) = ( cos ` A ) )
3531, 34breqtrd 4321 1 |- ( A e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1369   e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   + caddc 9290   <_ cle 9424   - cmin 9600   -ucneg 9601   / cdiv 9998   2c2 10376   [,]cicc 11308   sincsin 13354   cosccos 13355   picpi 13357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347
This theorem is referenced by:  efif1olem4  22006  cxpsqrlem  22152  cos2h  28428
  Copyright terms: Public domain W3C validator