MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosordlem Structured version   Unicode version

Theorem cosordlem 22123
Description: Lemma for cosord 22124. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cosord.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 0 [,] pi ) )
cosord.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 [,] pi ) )
cosord.3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
cosordlem  |-  ( ph  ->  ( cos `  B
)  <  ( cos `  A ) )

Proof of Theorem cosordlem
StepHypRef Expression
1 cosord.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 [,] pi ) )
2 0re 9500 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 pire 22057 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
42, 3elicc2i 11475 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  pi ) )
51, 4sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  pi ) )
65simp1d 1000 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
76recnd 9526 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
8 cosord.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 0 [,] pi ) )
92, 3elicc2i 11475 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
108, 9sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
1110simp1d 1000 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1211recnd 9526 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
13 subcos 13580 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  ( cos `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) ) ) )
147, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  A
)  -  ( cos `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) ) ) )
15 2re 10505 . . . . 5  |-  2  e.  RR
16 2pos 10527 . . . . 5  |-  0  <  2
1715, 16elrpii 11108 . . . 4  |-  2  e.  RR+
186, 11readdcld 9527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  e.  RR )
1918rehalfcld 10685 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  e.  RR )
2019resincld 13548 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  e.  RR )
212a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2210simp2d 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
23 cosord.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2421, 11, 6, 22, 23lelttrd 9643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  B )
25 addgtge0 9941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  ( 0  < 
B  /\  0  <_  A ) )  ->  0  <  ( B  +  A
) )
266, 11, 24, 22, 25syl22anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  +  A ) )
27 divgt0 10311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  +  A )  e.  RR  /\  0  <  ( B  +  A ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
2815, 16, 27mpanr12 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  +  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( B  +  A ) )  -> 
0  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
2918, 26, 28syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
303a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
3111, 6, 6, 23ltadd2dd 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  <  ( B  +  B ) )
3272timesd 10681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  B
)  =  ( B  +  B ) )
3331, 32breqtrrd 4429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  <  ( 2  x.  B ) )
3415a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
3516a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
36 ltdivmul 10318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  +  A
)  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( B  +  A )  /  2 )  < 
B  <->  ( B  +  A )  <  (
2  x.  B ) ) )
3718, 6, 34, 35, 36syl112anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  A )  / 
2 )  <  B  <->  ( B  +  A )  <  ( 2  x.  B ) ) )
3833, 37mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  <  B )
395simp3d 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  <_  pi )
4019, 6, 30, 38, 39ltletrd 9645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  <  pi )
41 0xr 9544 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
423rexri 9550 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR*
43 elioo2 11455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( ( B  +  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  +  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  +  A )  /  2
)  /\  ( ( B  +  A )  /  2 )  < 
pi ) ) )
4441, 42, 43mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  +  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  +  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  +  A )  /  2
)  /\  ( ( B  +  A )  /  2 )  < 
pi ) )
4519, 29, 40, 44syl3anbrc 1172 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi ) )
46 sinq12gt0 22105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  +  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( sin `  ( ( B  +  A )  /  2
) ) )
4820, 47elrpd 11139 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  e.  RR+ )
496, 11resubcld 9890 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
5049rehalfcld 10685 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  e.  RR )
5150resincld 13548 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  -  A
)  /  2 ) )  e.  RR )
5211, 6posdifd 10040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
5323, 52mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
54 divgt0 10311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  -  A )  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  A ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
5515, 16, 54mpanr12 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  A ) )  -> 
0  <  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
5649, 53, 55syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
57 rehalfcl 10665 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
583, 57mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( pi  /  2
)  e.  RR )
596, 11subge02d 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  ( B  -  A )  <_  B ) )
6022, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  B )
6149, 6, 30, 60, 39letrd 9642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  pi )
62 lediv1 10308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( B  -  A )  <_  pi 
<->  ( ( B  -  A )  /  2
)  <_  ( pi  /  2 ) ) )
6349, 30, 34, 35, 62syl112anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  <_  pi  <->  ( ( B  -  A
)  /  2 )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
6461, 63mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  <_  ( pi  /  2 ) )
65 pipos 22059 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
663, 65elrpii 11108 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
67 rphalflt 11131 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
6866, 67mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( pi  /  2
)  <  pi )
6950, 58, 30, 64, 68lelttrd 9643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  <  pi )
70 elioo2 11455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( ( B  -  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  -  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  -  A )  /  2
)  /\  ( ( B  -  A )  /  2 )  < 
pi ) ) )
7141, 42, 70mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  -  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  -  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  -  A )  /  2
)  /\  ( ( B  -  A )  /  2 )  < 
pi ) )
7250, 56, 69, 71syl3anbrc 1172 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi ) )
73 sinq12gt0 22105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  -  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  (
( B  -  A
)  /  2 ) ) )
7472, 73syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) )
7551, 74elrpd 11139 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  -  A
)  /  2 ) )  e.  RR+ )
7648, 75rpmulcld 11157 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) )  e.  RR+ )
77 rpmulcl 11126 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( B  +  A )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  / 
2 ) ) ) )  e.  RR+ )
7817, 76, 77sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) ) )  e.  RR+ )
7914, 78eqeltrd 2542 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  A
)  -  ( cos `  B ) )  e.  RR+ )
806recoscld 13549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  B
)  e.  RR )
8111recoscld 13549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  A
)  e.  RR )
82 difrp 11138 . . 3  |-  ( ( ( cos `  B
)  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( ( cos `  B
)  <  ( cos `  A )  <->  ( ( cos `  A )  -  ( cos `  B ) )  e.  RR+ )
)
8380, 81, 82syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  B
)  <  ( cos `  A )  <->  ( ( cos `  A )  -  ( cos `  B ) )  e.  RR+ )
)
8479, 83mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( cos `  B
)  <  ( cos `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396    + caddc 9399    x. cmul 9401   RR*cxr 9531    < clt 9532    <_ cle 9533    - cmin 9709    / cdiv 10107   2c2 10485   RR+crp 11105   (,)cioo 11414   [,]cicc 11417   sincsin 13470   cosccos 13471   picpi 13473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ioc 11419  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-fac 12172  df-bc 12199  df-hash 12224  df-shft 12677  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-limsup 13070  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-ef 13474  df-sin 13476  df-cos 13477  df-pi 13479  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-lp 18875  df-perf 18876  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cncf 20589  df-limc 21477  df-dv 21478
This theorem is referenced by:  cosord  22124
  Copyright terms: Public domain W3C validator