MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosordlem Structured version   Unicode version

Theorem cosordlem 23044
Description: Lemma for cosord 23045. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cosord.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 0 [,] pi ) )
cosord.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 [,] pi ) )
cosord.3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
cosordlem  |-  ( ph  ->  ( cos `  B
)  <  ( cos `  A ) )

Proof of Theorem cosordlem
StepHypRef Expression
1 cosord.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 [,] pi ) )
2 0re 9613 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 pire 22977 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
42, 3elicc2i 11615 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  pi ) )
51, 4sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B  /\  B  <_  pi ) )
65simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
76recnd 9639 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
8 cosord.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 0 [,] pi ) )
92, 3elicc2i 11615 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
108, 9sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
1110simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1211recnd 9639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
13 subcos 13922 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  -  ( cos `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) ) ) )
147, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  A
)  -  ( cos `  B ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) ) ) )
15 2re 10626 . . . . 5  |-  2  e.  RR
16 2pos 10648 . . . . 5  |-  0  <  2
1715, 16elrpii 11248 . . . 4  |-  2  e.  RR+
186, 11readdcld 9640 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  e.  RR )
1918rehalfcld 10806 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  e.  RR )
2019resincld 13890 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  e.  RR )
212a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2210simp2d 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
23 cosord.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2421, 11, 6, 22, 23lelttrd 9757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  B )
25 addgtge0 10061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  ( 0  < 
B  /\  0  <_  A ) )  ->  0  <  ( B  +  A
) )
266, 11, 24, 22, 25syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  +  A ) )
27 divgt0 10431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  +  A )  e.  RR  /\  0  <  ( B  +  A ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
2815, 16, 27mpanr12 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  +  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( B  +  A ) )  -> 
0  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
2918, 26, 28syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  +  A )  /  2 ) )
303a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
3111, 6, 6, 23ltadd2dd 9758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  <  ( B  +  B ) )
3272timesd 10802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  B
)  =  ( B  +  B ) )
3331, 32breqtrrd 4482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  <  ( 2  x.  B ) )
3415a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
3516a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
36 ltdivmul 10438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  +  A
)  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( B  +  A )  /  2 )  < 
B  <->  ( B  +  A )  <  (
2  x.  B ) ) )
3718, 6, 34, 35, 36syl112anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  A )  / 
2 )  <  B  <->  ( B  +  A )  <  ( 2  x.  B ) ) )
3833, 37mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  <  B )
395simp3d 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  <_  pi )
4019, 6, 30, 38, 39ltletrd 9759 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  <  pi )
41 0xr 9657 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
423rexri 9663 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR*
43 elioo2 11595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( ( B  +  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  +  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  +  A )  /  2
)  /\  ( ( B  +  A )  /  2 )  < 
pi ) ) )
4441, 42, 43mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  +  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  +  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  +  A )  /  2
)  /\  ( ( B  +  A )  /  2 )  < 
pi ) )
4519, 29, 40, 44syl3anbrc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi ) )
46 sinq12gt0 23026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  +  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( sin `  ( ( B  +  A )  /  2
) ) )
4820, 47elrpd 11279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  e.  RR+ )
496, 11resubcld 10008 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
5049rehalfcld 10806 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  e.  RR )
5150resincld 13890 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  -  A
)  /  2 ) )  e.  RR )
5211, 6posdifd 10160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
5323, 52mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
54 divgt0 10431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  -  A )  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  A ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
5515, 16, 54mpanr12 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  A ) )  -> 
0  <  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
5649, 53, 55syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
57 rehalfcl 10786 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
583, 57mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( pi  /  2
)  e.  RR )
596, 11subge02d 10165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  ( B  -  A )  <_  B ) )
6022, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  B )
6149, 6, 30, 60, 39letrd 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  <_  pi )
62 lediv1 10428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( B  -  A )  <_  pi 
<->  ( ( B  -  A )  /  2
)  <_  ( pi  /  2 ) ) )
6349, 30, 34, 35, 62syl112anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  <_  pi  <->  ( ( B  -  A
)  /  2 )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
6461, 63mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  <_  ( pi  /  2 ) )
65 pirp 22980 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
66 rphalflt 11271 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
6765, 66mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( pi  /  2
)  <  pi )
6850, 58, 30, 64, 67lelttrd 9757 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  <  pi )
69 elioo2 11595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  (
( ( B  -  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  -  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  -  A )  /  2
)  /\  ( ( B  -  A )  /  2 )  < 
pi ) ) )
7041, 42, 69mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  -  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( (
( B  -  A
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( B  -  A )  /  2
)  /\  ( ( B  -  A )  /  2 )  < 
pi ) )
7150, 56, 68, 70syl3anbrc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  e.  ( 0 (,) pi ) )
72 sinq12gt0 23026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  -  A
)  /  2 )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  (
( B  -  A
)  /  2 ) ) )
7371, 72syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) )
7451, 73elrpd 11279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sin `  (
( B  -  A
)  /  2 ) )  e.  RR+ )
7548, 74rpmulcld 11297 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) )  e.  RR+ )
76 rpmulcl 11266 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( ( sin `  ( ( B  +  A )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  / 
2 ) ) ) )  e.  RR+ )
7717, 75, 76sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sin `  (
( B  +  A
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( B  -  A )  /  2
) ) ) )  e.  RR+ )
7814, 77eqeltrd 2545 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  A
)  -  ( cos `  B ) )  e.  RR+ )
796recoscld 13891 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  B
)  e.  RR )
8011recoscld 13891 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cos `  A
)  e.  RR )
81 difrp 11278 . . 3  |-  ( ( ( cos `  B
)  e.  RR  /\  ( cos `  A )  e.  RR )  -> 
( ( cos `  B
)  <  ( cos `  A )  <->  ( ( cos `  A )  -  ( cos `  B ) )  e.  RR+ )
)
8279, 80, 81syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  B
)  <  ( cos `  A )  <->  ( ( cos `  A )  -  ( cos `  B ) )  e.  RR+ )
)
8378, 82mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( cos `  B
)  <  ( cos `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   sincsin 13811   cosccos 13812   picpi 13814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
This theorem is referenced by:  cosord  23045
  Copyright terms: Public domain W3C validator