MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosneg Structured version   Unicode version

Theorem cosneg 13427
Description: The cosines of a number and its negative are the same. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
cosneg  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  -u A )  =  ( cos `  A
) )

Proof of Theorem cosneg
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9337 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
2 mulneg12 9779 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u A
) )
31, 2mpan 665 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u A ) )
43eqcomd 2446 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u A )  =  ( -u _i  x.  A ) )
54fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )
6 mul2neg 9780 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  -u A )  =  ( _i  x.  A ) )
71, 6mpan 665 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  -u A
)  =  ( _i  x.  A ) )
87fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  -u A ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  A )
) )
95, 8oveq12d 6108 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  -u A ) ) )  =  ( ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  +  ( exp `  (
_i  x.  A )
) ) )
10 negicn 9607 . . . . . . 7  |-  -u _i  e.  CC
11 mulcl 9362 . . . . . . 7  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
1210, 11mpan 665 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
13 efcl 13364 . . . . . 6  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  CC )
15 mulcl 9362 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
161, 15mpan 665 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
17 efcl 13364 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
1914, 18addcomd 9567 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  +  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
209, 19eqtrd 2473 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  -u A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
2120oveq1d 6105 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  -u A ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2 ) )
22 negcl 9606 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
23 cosval 13403 . . 3  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( cos `  -u A
)  =  ( ( ( exp `  (
_i  x.  -u A ) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  -u A ) ) )  /  2 ) )
2422, 23syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  -u A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  -u A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  -u A ) ) )  /  2 ) )
25 cosval 13403 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  +  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  2 ) )
2621, 24, 253eqtr4d 2483 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  -u A )  =  ( cos `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   _ici 9280    + caddc 9281    x. cmul 9283   -ucneg 9592    / cdiv 9989   2c2 10367   expce 13343   cosccos 13346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-ico 11302  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-cos 13352
This theorem is referenced by:  tanneg  13428  efmival  13433  sinsub  13448  cossub  13449  sincossq  13456  cosneghalfpi  21891  cos2pim  21907  ptolemy  21917  coseq0negpitopi  21924  tanord  21953  argregt0  22018  argrege0  22019  atantan  22277
  Copyright terms: Public domain W3C validator