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Theorem cosne0 22895
Description: The cosine function has no zeroes within the vertical strip of the complex plane between real part 
-u pi  /  2 and  pi  /  2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosne0  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )

Proof of Theorem cosne0
StepHypRef Expression
1 halfpire 22835 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
21recni 9611 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
3 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  A  e.  CC )
4 nncan 9853 . . . . 5  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  A )
52, 3, 4sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( pi 
/  2 )  -  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  =  A )
65fveq2d 5860 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )  =  ( cos `  A ) )
7 subcl 9824 . . . . 5  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  CC )
82, 3, 7sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  e.  CC )
9 coshalfpim 22866 . . . 4  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  -  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )  =  ( sin `  (
( pi  /  2
)  -  A ) ) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )  =  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
116, 10eqtr3d 2486 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) ) )
125adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) )  =  A )
13 picn 22830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  e.  CC )
15 pire 22829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
16 pipos 22831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  pi
1715, 16gt0ne0ii 10096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  =/=  0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  pi  =/=  0
)
198, 14, 18divcan1d 10328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi  /  2
)  -  A ) )
2019adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  -  A ) )
21 zre 10875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  e.  RR )
2221adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  e.  RR )
23 remulcl 9580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
2422, 15, 23sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
2520, 24eqeltrrd 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( pi  /  2
)  -  A )  e.  RR )
26 resubcl 9888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  2 )  -  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  e.  RR )
271, 25, 26sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( ( pi  /  2 )  -  A ) )  e.  RR )
2812, 27eqeltrrd 2532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
2928rered 13039 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
Re `  A )  =  A )
30 simplr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  (
Re `  A )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
3129, 30eqeltrrd 2532 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) ) )
32 0zd 10883 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  e.  ZZ )
33 elioore 11570 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  e.  RR )
34 resubcl 9888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR )
351, 33, 34sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR )
3615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  pi  e.  RR )
37 eliooord 11595 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( -u ( pi  / 
2 )  <  A  /\  A  <  ( pi 
/  2 ) ) )
3837simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  <  ( pi  / 
2 ) )
39 posdif 10052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  < 
( pi  /  2
)  <->  0  <  (
( pi  /  2
)  -  A ) ) )
4033, 1, 39sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( A  <  (
pi  /  2 )  <->  0  <  ( ( pi  /  2 )  -  A ) ) )
4138, 40mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( (
pi  /  2 )  -  A ) )
4216a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  pi )
4335, 36, 41, 42divgt0d 10488 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( (
( pi  /  2
)  -  A )  /  pi ) )
441a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( pi  /  2
)  e.  RR )
452negcli 9892 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  CC
4613, 2negsubi 9902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  -  (
pi  /  2 ) )
47 pidiv2halves 22838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
4813, 2, 2, 47subaddrii 9914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
4946, 48eqtri 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
502, 13, 45, 49subaddrii 9914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi  /  2 )  -  pi )  = 
-u ( pi  / 
2 )
5137simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  <  A )
5250, 51syl5eqbr 4470 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <  A )
5344, 36, 33, 52ltsub23d 10164 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  <  pi )
5413mulid1i 9601 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  x.  1 )  =  pi
5553, 54syl6breqr 4477 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  <  ( pi  x.  1 ) )
56 1red 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
1  e.  RR )
57 ltdivmul 10424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  -  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  <  1  <->  ( ( pi 
/  2 )  -  A )  <  (
pi  x.  1 ) ) )
5835, 56, 36, 42, 57syl112anc 1233 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ( pi  /  2 )  -  A )  /  pi )  <  1  <->  ( ( pi  /  2
)  -  A )  <  ( pi  x.  1 ) ) )
5955, 58mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  <  1 )
60 1e0p1 11014 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
6159, 60syl6breq 4476 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) )
62 btwnnz 10946 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( pi  /  2 )  -  A )  /  pi )  /\  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) )  ->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
6332, 43, 61, 62syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
6431, 63syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )  /\  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
6564pm2.01da 442 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  -.  ( (
( pi  /  2
)  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
66 sineq0 22892 . . . . 5  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  A )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  -  A
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
678, 66syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  =  0  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
)
6867necon3abid 2689 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  -  A
) )  =/=  0  <->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  -  A )  /  pi )  e.  ZZ )
)
6965, 68mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( sin `  (
( pi  /  2
)  -  A ) )  =/=  0 )
7011, 69eqnetrd 2736 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( cos `  A
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10213   2c2 10592   ZZcz 10871   (,)cioo 11540   Recre 12912   sincsin 13781   cosccos 13782   picpi 13784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249
This theorem is referenced by:  tanord  22903  tanregt0  22904  atantan  23232  tan2h  30023  fourierdlem62  31905
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